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1、空间向量运算的坐标表示教学目标重点: 空间直角坐标系，空间向量运算的坐标表示. 难点：如何成立适当的坐标系及空间向量的坐标的确信和运算. 知识点：把握空间向量坐标运算的规律.能力点：通过用空间向量解决简单的立体几何中的平行、垂直、夹角、距离（模）等问题,进一步培育学生 的观看能力和探讨能力,总结一样性方式.提高学生运用坐标法解决几何问题的能力知道欣赏数 学的“简练美”，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方式.教育点：通过必修4 平面向量的坐标运算,用类比的方式研究空间向量问题,教会学生准确的成立坐标系， 用空间向量坐标解决空间几何的线面关系.自主探讨点：通过平面向量运算的有关方式,引出空间向量
2、的运算,进一步体会“二维”与“三维”的关系. 如何成立坐标系,求解坐标才更简单.考试点：证明线线、线面的平行与垂直,求角和距离（模）等问题. 易错易混点：借助与向量夹角求解异面直线的夹角最后有的学生可不能转化. 拓展点：借助于向量求解线线、线面、面面的平行、垂直、夹角、距离等问题. 教具预备 多媒体课件和三角板课堂模式 学案导学一、引入新课温习平面向量的坐标运算 若“二（xi,人）,b = （x2,叮，则(1) a + b = (x + x , y + y ),1 2 1 2(2) a - b=(J y 2)，(3)九 a =(九x,九y).(4) a b =X1X2 + yi y2(5) a
3、 / b (b圭0)的充要条件是xy x y = 01 2 2 1(6) a 丄 b o x x + y y = 01 2 1 2(7) I a 1= Jxj + y2A(x , y ), B(x , y ), AB = OB - OA = (x - x , y - y )11 2 2 12 12d =1 AB 1= (x - x )2 + (y - y )2AB2121(8) cos =2 + y 21 2若设a = (a1，a2,盯，b = (b1，b2, b3)，【设计用意】通过回忆平面向量的坐标运算,能够自然的引出本节课课题,进一步让学生体会二维空间与三 维空间的关系.试探：你能由平面
4、向量的坐标运算类比取得空间向量的坐标运算吗？它们是不是成立？什么缘故？ 【设计用意】带着试探去学习,更能表现学习的目标性,提高学生的注意力.二、探讨新知设a = (a1，a a3)，b = (b1，b2, b3)，则a - b = ( a - b , a - b , a - b )1 1 2 2 3 3a b = a b + a b + a b1 2 2 2 3 3则(1) a +b = (a + b , a + b , a + b )1 1 2 2 3 3九 a =(九a ,九a ,九a )(X e R)123教师能够选择某一个坐标运算向学生证明它的正确性,加深学生对运算的明白得: 如证明向
5、量的数量积运算 设i jk 为单位正交基底，那么a = a1 i + a2 j + a3 k , b = b1 i + b2 j + b3 k .因此a b = (a i + a j + a k ) (b i + b j + b k )123123利用向量运算的分派律和i i = j j = k k = 1,i j = j k = i k = 0,即可得出a b = a b + a b + a b1 2 2 2 3 3设计用意】通过向学生展现向量的数量积运算求解进程,让学生进一步明确结论的正确性,加深了对空间 向量坐标运算的明白得.类似平面向量运算的坐标表示,咱们还能够取得:(2) a/ bo
6、 a = X b(b 丰0)即 a =九b, a =九b, a =Xb(XeR)1 1 2 2 3 3a 丄 b o a b = a b + a b + a b = 01 1 2 2 3 3(3) I a I a a =、- a2 + a2 + a2v 123在空间坐标系中，已知点 AW，y1，Z1)，BL y2, Z2)，那么 AB = OB - OA = W - x1，y2 - y1，Z2 - Z1)即 A, B 两点间的距离 d =1 AB l=J(x - x )2 + (y y )2 + (z - z )2 AB212121”a b + a b + a bcos =ii 22a2 +
7、a2 + a3 b2 + b2 + b2123123【设计用意】将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来,不仅能够解决线面的平行、垂直、夹角距离(模)等问题 ,而且为下进一步解决立体几何问题提供了方便.三、明白得新知1. 与平面向量相较，只是多了一个竖坐标罢了，即由(x,y)变成了 (x,y,z).以下两个充要条件在解题中常常利用，要熟练把握若a = (a,a,a) , b = (b,b,b)，那么alibo a =久b(b丰0)即123123a 二九b , a 二九b , a 二九b (久 e R) ； a 丄 b o a b = a b + a b + a b = 0.1122331122
8、33a a a试探:若a = (a , a , a ), b = (b , b ,b )，那么= 2 =亍”是“ a iib ”的什么条件?1231 2 3b b b123aaaaaa分析：当y1 = 2 = 3成立时，a 11 b必然成立；但a 11 b成立y1 = 2 = 3不必然成立，缘故是bbbbbb123123b ,b ,b 有为零的情形.1232. 对利用向量处置平行和垂直问题的考查，要紧解决立体几何中有关垂直和平行判定的一些命题关 于垂直，要紧利用a丄b o a b = 0进行证明.关于平行，一样是利用共线向量和共面向量定理进行证 明.二是对利用向量处置角度问题的考查，利用向量求
9、夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)，其一样方式a b 是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角那么能够利用公式cos3 =进行计|a |b|算.3. 利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置，成立适当、正确的空间坐标系，难点是在已建 好的坐标系中表示出已知点的坐标，只有正确表示出已知点的坐标，才能通过向量的坐标运算，实现几何问 题的代数化解法【设计用意】培育学生总结归纳的能力，让学生明白利用空间向量所要解决的问题，及解决问题的一样性 方式.四、运用新知题型一:空间向量的坐标运算例1.设 a = (2,1,6) ， b = ( -8, -3,2) ，计算:1(1) 2a +
10、 3b ； (2) 3a - 4b；(3)-b a ； (4)假设久a +卩b与y轴垂直，求入卩所知足的关系式.厶分析：(1)(2)(3)直接利用向量的坐标运算解决即可，(4)需要找一下久a +卩b与y轴方向向量的关 系.教师板书例题求解进程：(1) 2a + 3b = 2(2,1,6) + 3(-8,-3,2) = (4,2,12) + (-24,-9,6) = (-20,-7,18).(2) 3a -4b = 3(2,1,6) -4(-8,-3,2) = (6,3,18) - (-32,-12,8) = (38,15,10)1 337(3) -b a = (-4,- ,1) (2,1,6)
11、 =-4x 2 - -x 1 +1 x 6 二-.2 222(4) 久a +pb = (2九8卩,九-3比6九+ 2卩)，取y轴的方向向量为(0,1,0).因此九-3卩=0,即入“所知足的关系式为九3卩=0.【设计用意】通过此题能够让学生先熟悉一下空间向量运算的坐标表示,能够为下面的题目做好知识、运算的铺垫.题型二:空间向量平行与垂直的判定例 2.已知空间三点 A(-2,0,2), B(-1,1,2), C(-3,0,4),设a = AB , b = AC.(1) 设 I c 1= 3, c / BC 求 c ;(2) 假设k a + b与k a 2b相互垂直，求k.分析：通过 A(-2,0,
12、2), B(1,1,2), C(3,0,4)及a - AB , b -AC，第一把a,b表示出来.(1) 由c / Be那么借助共线向量大体定理，可设c = A Be如此c的坐标中只含有一个参数九，再利用I c I= 3把九c = (x, y,z)要简便的多.(2) 第一把k a + b与k a 2b的坐标表示出来,再利用两向量垂直时的坐标关系求出参数k即可.教师板书例题求解进程：(1) 因为 BC = (2,1,2),且c / BC,设c = ABC = (2A, A,2 A)(A e R).因此Ic 1/(-2A)2 + (-A)2 + (2A)2 = 3I A I= 3.解得 A = 1
13、,因此I c I= (-2,-1,2)或I c I= (2,1,-2).(2) 因为a = AB = (1,1,0), b = AC = (1,0,2).因此k a + b = (k 1,k,2)与 k a 2b = (k + 2,k, 4), 由 k a + b 与 k a - 2b 相互垂直，因此(k a + b) (k a - 2b) = 0 ,即(k -1,k,2) (k + 2, k,一4) = 2k2 + k -10 = 0，解得 k = 2 或 k = 一 .2 方式小结:解决空间向量平行与垂直的思路:(1) 假设有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标.例如，设a = (x,y,
14、z);(2) 在有关平行的问题中，通常需要引入参数.例如，已知a/b，那么引入参数入有a = xb，再转化为方程组求解;(3) 选择向量的坐标形式,能够达到简化运算的目的.【设计用意】通过本例一是让学生进一步熟悉向量坐标的运算,二是体会坐标运算在解决空间平行垂直问 题中的作用,并提炼利用向量坐标解决空间平行、垂直问题的一样性方式.变式训练 1：已知向量a =(人2, -2)，b = (2,4,4) , c = (2,x,4).(1) 判定a与b的位置关系;(2) 若a/c ,求I c | ；(3) 若b丄c,求c在a方向上的投影.教师板书求解进程：(1) b = (2, 4,4) = 2(1,2, 2) = 2a，因此,a /b ；1 22i(2) a/c,= 一，得x = 4, ac = (2,4,4),.c I= J22 + 42 + (4)2 = 6;2 x 4(3) b丄c,:. b -c = 0，得x = 5，. c = (2, 5, 4)，因此c在a方向上的投影为a - c210+8I c I cos =l c I xI a I x I c I二3=0 【设计用意】通过此变式训练能够让学生进一步熟练两个空间向量平行与垂直的向量坐标表示，及向量的投影问题.题型三：利用坐标运算解决夹角、距离问题例3.如图在直三棱柱(侧棱与底面垂直)ABC
