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1、高等代数（北大第三版）答案目录第一章 多项式 第二章 行列式 第三章 线性方程组第四章 矩阵第五章 二次型 第六章 线性空间第七章 线性变换第八章 矩阵第九章 欧氏空间第十章 双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！ 12设为一个级实对称矩阵，且，证明：必存在实维向量，使请预览后下载！。证 因为，于是，所以，且不是正定矩阵。故必存在非退化线性替换使 ，且在规范形中必含带负号的平方项。于是只要在中，令则可得一线性方程组 ，由于，故可得唯一组非零解使 ，即证存在，使。 13如果都是阶正定矩阵，证明：也是正定矩阵。 证 因为为正定矩阵，所以为正定二次型，且 ， ，因此 ，
2、于是必为正定二次型，从而为正定矩阵。 14证明：二次型是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。 证 必要性。采用反证法。若正惯性指数秩，则。即 ， 若令请预览后下载！ ，则可得非零解使。这与所给条件矛盾，故。充分性。由，知 ，故有，即证二次型半正定。 15证明：是半正定的。 证 （ ） 。可见：1） 当不全相等时 。2） 当时 。故原二次型是半正定的。 16设是一实二次型，若有实维向量使 ， 。请预览后下载！证明：必存在实维向量使。 设的秩为，作非退化线性替换将原二次型化为标准型 ，其中为1或-1。由已知，必存在两个向量使 和 ，故标准型中的系数不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有
3、个1，个-1，且，即 ，这时与存在三种可能： ， ， 下面仅讨论的情形，其他类似可证。 令， ， ，则由可求得非零向量使 ，即证。17是一个实矩阵，证明： 。证 由于的充分条件是与为同解方程组，故只要证明与同解即可。事实上 ，即证与同解，故 。 注 该结论的另一证法详见本章第三部分（补充题精解）第2题的证明，此处略。一、 补充题参考解答请预览后下载！1 用非退化线性替换化下列二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果：1）；2）；3）；4），其中。解 1）作非退化线性替换 ，即，则原二次型的标准形为 ，且替换矩阵 ，使 ，请预览后下载！其中 。2）若 ， ，则 ，于是当为奇数时，作变换 ，则 ，且当
4、时，得非退化替换矩阵为 ，当时，得非退化替换矩阵为请预览后下载！ ，故当为奇数时，都有 。 当为偶数时，作非退化线性替换 ，则 ，于是当时，得非退化替换矩阵为 ，于是当时，得非退化替换矩阵为请预览后下载！ ，故当为偶数时，都有 。3） 由配方法可得 ，于是可令 ，则非退化的线性替换为请预览后下载！ ，且原二次型的标准形为 ，相应的替换矩阵为 ，又因为 ，所以请预览后下载！ 。4） 令 ，则 。由于 ，则 原式 请预览后下载！ ，其中所作非退化的线性替换为 ，故非退化的替换矩阵为 。又 请预览后下载！ ，所以 。2 设实二次型 ，证明：的秩等于矩阵 的秩。 证 设，因 ，下面只需证明即可。由于，
5、故存在非退化矩阵使 或 ，从而 ，令请预览后下载！ ，则 。由于是正定的，因此它的级顺序主子式，从而的秩为。即证。3 设 。其中是的一次齐次式，证明：的正惯性指数，负惯性指数。 证 设 ，的正惯性指数为，秩为，则存在非退化线性替换 ，使得 。下面证明。采用反证法。设，考虑线性方程组 ，该方程组含个方程，小于未知量的个数，故它必有非零解，于是 ，请预览后下载！上式要成立，必有 ， ，这就是说，对于这组非零数，有 ， ，这与线性替换的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以 。 同理可证负惯性指数，即证。4 设 是一对称矩阵，且，证明：存在使，其中表示一个级数与相同的矩阵。 证 只要令，则 ，注意到 ， ，
6、则有 。即证。5 设是反对称矩阵，证明：合同于矩阵请预览后下载！ 。 证 采用归纳法。当时，合同于，结论成立。下面设为非零反对称矩阵。 当时 ，故与合同，结论成立。 假设时结论成立，今考察的情形。这时 ，如果最后一行（列）元素全为零，则由归纳假设，结论已证。若不然，经过行列的同时对换，不妨设，并将最后一行和最后一列都乘以，则可化成 ，再将最后两行两列的其他非零元化成零，则有 ，由归纳假设知请预览后下载！ 与 合同，从而合同于矩阵 ，再对上面矩阵作行交换和列交换，便知结论对级矩阵也成立，即证。6 设是阶实对称矩阵，证明：存在一正实数，使对任一个实维向量都有 。证 因为 ，令，则 。利用可得 ，其
7、中，即证。 7主对角线上全是1的上三角矩阵称为特殊上三角矩阵。1）设是一对称矩阵，为特殊上三角矩阵，而，证明：与的对应顺序主子式有相同的值；2）证明：如果对称矩阵的顺序主子式全不为零，那么一定有一特殊上三角矩阵使成对角形；3）利用以上结果证明：如果矩阵的顺序主子式全大于零，则是正定二次型。证 1）采用归纳法。当时，设请预览后下载！ ， ，则 。考虑的两个顺序主子式：的一阶顺序主子式为，而二阶顺序主子式为 ，与的各阶顺序主子式相同，故此时结论成立。归纳假设结论对阶矩阵成立，今考察阶矩阵，将写成分块矩阵 ， ，其中为特殊上三角矩阵。于是 。由归纳假设，的一切阶的顺序主子式，即的顺序主子式与的顺序主
8、子式有相同的值，而的阶顺序主子式就是，由 ，知的阶顺序主子式也与的阶顺序主子式相等，即证。 2）设阶对称矩阵，因，同时对的第一行和第一列进行相同的第三种初等变换，可以化成对称矩阵 ，请预览后下载！于是由1）知，从而，再对进行类似的初等变换，使矩阵的第二行和第二列中除外其余都化成零；如此继续下去，经过若干次行列同时进行的第三种初等变换，便可以将化成对角形 。由于每进行一次行、列的第三种初等变换，相当于右乘一个上三角形阵，左乘一个下三角形阵，而上三角形阵之积仍为上三角形阵，故存在，使，命题得证。 3）由2）知，存在使 。又由1）知的所有顺序主子式与的所有顺序主子式有相同的值，故 ， ，所以。 ，所以 ，因是非退化线性替换，且 ，由于都大于零，故是正定的。 8。证明：1）如果 请预览后下载！是正定二次型，那么 是负定二次型； 2）如果是正定矩阵，那么 ，这里是的阶顺序主子式； 3）
