学习必备 欢迎下载分式方程的解法及应用（提高）【学习目标】1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．2. 会列出分式方程解简单的应用问题．【要点梳理】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.（要点诠释： 1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于 0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于 0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0 的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是 0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.学习必备 欢迎下载【典型例题】类型一、判别分式方程【高清课堂 分式方程的解法及应用 例 1】1、下列各式中，哪些是分式方程？哪些不是分式方程？为什么？（1）2 x - 1 7 5x- =3 99 7（2）3 5=y - 2 y（3）3 y + 1 1 5+ 4 （4） 3 + =2 y - 2 x2 - x x2 - 1【答案与解析】解：（1）虽然方程里含有分母，但是分母里没有未知数，所以不是分式方程；（2）具备分式方程的三个特征，是分式方程；（3） 3 y + 1 + 4 没有等号，所以不是方程，它是一个代数式；2 y - 2（4）方程具备分式方程的三个特征，是分式方程．特别提醒：（3）题是一个代数式，不是方程，容易判断错误；【总结升华】整式方程与分式方程的区别在于分母里有没有未知数，有未知数的就是分式方程，没有未知数的就是整式方程．类型二、解复杂分式方程的技巧2、解方程： 13得 3x + 110 4 1- = -x - 4 x - 3 x - 5 x - 1【答案与解析】解：方程的左右两边分别通分，3x + 1= ，( x - 4)( x - 3) ( x - 5)( x - 1)．( x - 4 )x(- -3 ) x -( 3x + 1∴3x + 1= 0 ，x5-) ( 1)( x - 4)( x - 3) ( x - 5)(x - 1)úûé∴ (3x + 1) êë1 1 ù- = 0 ，∴ 3x + 1= 0，或1 1- = 0 ，( x - 4)( x - 3) ( x - 5)( x - 1)1由 3x + 1 = 0 ，解得 x = - ，3由1 1- = 0 ，解得 x = 7 ．( x - 4)( x - 3) ( x - 5)( x - 1)学习必备 欢迎下载1经检验： x = - ， x = 7 是原方程的根.3【总结升华】若用常规方法，方程两边同乘( x - 4)( x - 3)(x - 5)( x - 1) ，去分母后的整式方程的解很难求出来．注意方程左右两边的分式的分子、分母，可以采用先把方程的左右两边分别通分的方法来解．举一反三：【变式】解方程【答案】1 1 1 1+ = +x + 4 x + 7 x + 5 x + 6．解：移项得1 1 1 1- = -x + 4 x + 5 x + 6 x + 7，两边同时通分得( x + 5) - ( x + 4) ( x + 7) - ( x + 6)= ，( x + 4)( x + 5) ( x + 6)( x + 7)即 11= ，( x + 4)( x + 5) ( x + 6)( x + 7)因为两个分式分子相同，分式值相等，则分式分母相等．所以 ( x + 4)( x + 5) = ( x + 6)( x + 7) ，x2 + 9 x + 20 = x2 + 13x + 42 ，x2 + 9 x + 20 - x2 - 13x - 42 = 0 ，-4 x - 22 = 0 ，11∴ x =- ．211检验：当 x = - 时， ( x + 4)( x + 5)( x + 6)( x + 7) ¹ 0 ．211∴ x =- 是原方程的根．2类型三、分式方程的增根【高清课堂 分式方程的解法及应用 例 3】3、（1）若分式方程（2）若分式方程2 mx 3+ = 有增根，求 m 值；x - 2 x2 - 4 x + 2k - 1 1 k - 5- = 有增根 x = -1 ，求 k 的值．x2 - 1 x2 - x x2 - x（（【思路点拨】 1）若分式方程产生增根，则( x - 2)( x + 2) = 0 ，即 x = 2 或 x = -2 ，然后把x = ±2 代入由分式方程转化得的整式方程求出 m 的值． 2）将分式方程转化成整式方程后，把 x = -1 代入解出 k 的值.【答案与解析】学习必备 欢迎下载解：（1）方程两边同乘 ( x + 2)( x - 2) ，得 2( x + 2) + mx = 3(x - 2) ．∴ (m - 1)x = -10 ．∴ x =101 - m．由题意知增根为 x = 2 或 x = -2 ，10 10∴ = 2 或 = -2 ．1 - m 1 - m∴ m = -4 或 m = 6 ．（2）方程两边同乘 x( x + 1)(x - 1) ，得 (k - 1)x - ( x + 1) = (k - 5)( x + 1) ．∴ 3x = k - 4 ．∴ x =k - 43．∵ 增根为 x = -1 ，k - 4∴ = -1．3∴ k = 1 ．【总结升华】(1)在方程变形中，有时可能产生不适合原方程的根，这种根做作原方程的增根．在分式方程中，使最简公分母为零的根是原方程的增根；(2)这类问题的解法都是首先把它们化成整式方程，然后由条件中的增根，求得未知字母的值．举一反三：【变式】已知关于 x 的方程3 - 2 x 2 + ax+ = -1无解，求 a 的值．x - 3 3 - x【答案】解：方程两边同乘 ( x - 3) 约去分母，得 (3 - 2 x) - (2 + ax) = -( x - 3) ，即 (a + 1)x = -2 ．①∵ x - 3 = 0 ，即 x = 3 时原方程无解，5∴ (a + 1)´ 3 = -2 ，∴ a =- ．3②∵ 当 a + 1 = 0 时，整式方程 (a + 1)x = -2 无解，∴ 当 a = -1 时，原方程无解．综上所述，当 a = - 5 或 a = -1 时，原方程无解．3类型四、分式方程的应用【高清课堂 分式方程的解法及应用 例 3】4、某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为 1000 米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设 20 米，且甲工程队铺设 350 米所用的天数与乙工程队铺设 250 米所用的天数相同．学习必备 欢迎下载(1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米?(2)如果要求完成该项工程的工期不超过 10 天，那么为两工程队分配工程量(以百米为单位)的方案有几种?请你帮助设计出来．【思路点拨】(1)题中的等量关系是甲工程队铺设 350 米所用的天数与乙工程队铺设 250 米所用的天数相同．（2）由工期不超过 10 天列出不等式组求出范围.【答案与解析】解：(1)设甲工程队每天能铺设 x 米，则乙工程队每天能铺设 (x - 20) 米．根据题意，得350 250=x x - 20．解得 x = 70 ．ïï 70 £ 10,经检验， x = 70 是原分式方程的解且符合题意．故甲、乙两工程队每天分别能铺设 70 米和 50 米．(2)设分配给甲工程队 y 米，则分配给乙工程队 (1000 - y )米．ì y由题意，得 í 解得 500≤ y ≤700．ï1000 - y £ 10,ïî 50方案一：分配给甲工程队 500 米，分配给乙工程队 500 米．方案二：分配给甲工程队 。