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1、金山中学2020学年第二学期高一年级数学学科期中考试试卷(考试时间:120分钟满分:150分)一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,其中第1题至第6题每小题4分,第7题至第12题每小题5分,考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果,否则一律得零分1. 已知是等差数列的前项和,若,则_.2若的圆心角所对的弧长为,则扇形半径长为 3方程的解集是_4. 设,则的值为_5函数的值域为_ 6设函数是R上的奇函数,当时,则当时,的解析式为_.7若等比数列的前项和,则_8. 如图所示,在直角坐标系中,角的顶角是原点,始边与轴正半轴重合,终边交单位圆于点,且.将角的终边按逆时针方向旋转,交单位圆
2、于点.若点的横坐标为,则点的横坐标为_.9已知函数,若将函数的图像向左平移个单位,所得图像关于轴对称,则实数的取值集合是_10.已知数列满足,为数列的前项和,则_11已知数列满足,若对任意都有,则实数的取值范围是 12已知函数的图像与直线的三个交点的横坐标分别为,那么的值是_.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分 13. 已知为数列的前项和,且满足,则 ( )A. B C D14在中,角所对的边分别为,则“”是“”的 ( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必
3、要条件 15有下列四个命题:只有在区间上,正弦函数才有反函数;与是同一函数;若函数的最小正周期为,则;函数的最小正周期为. 其中正确的命题个数为 ( )A. B C D16对于实数,表示不超过的最大整数. 已知正数数列满足,其中为数列的前项和,则( )A B C D三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17(本题满分14分)设,求的值.18(本题满分14分)本题共有2个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分8分 已知等比数列满足:公比,且.(1) 求数列的通项公式;(2)设点在函数的图像上,求数列的前项和的最大值,并求出此
4、时的.19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知函数为偶函数,且函数图象的两相邻对称轴间的距离为.(1) 求的值;(2)将函数的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象,求的单调递减区间.20.(本题满分16分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分10分.如图,公路围成的是一块角形耕地,其中顶角满足.在该土地中有一点,经测量它到公路的距离分别为.现要过点修建一条直线公路,将三条公路围成的区域建成一个工业区(1)用来表示;(2)为尽量减少耕地占用,问等于多少时,使该工业区面积最小?并求出最小面
5、积.21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分用部分自然数构造如图的数表:用表示第行第个数,使得,每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和,设第行中的各数之和为.(1) 已知,求的值;(2) 令,证明:是等比数列,并求出的通项公式;(3) 数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列?若存在,求出的关系,若不存在,说明理由.金山中学2020学年第二学期高一年级数学学科期中考试参考答案(考试时间:120分钟满分:150分)一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,其中第1题至第6题每小题4分,第7题至第12题每小题5分,考生应在答题纸上
6、相应编号的空格内直接填写结果,否则一律得零分1. 已知是等差数列的前项和,若,则_.2若的圆心角所对的弧长为,则扇形半径长为 3方程的解集是_4. 设,则的值为_5函数的值域为_ 6设函数是R上的奇函数,当时,则当时,的解析式为_.7若等比数列的前项和,则_8. 如图所示,在直角坐标系中,角的顶角是原点,始边与轴正半轴重合,终边交单位圆于点,且.将角的终边按逆时针方向旋转,交单位圆于点.若点的横坐标为,则点的横坐标为_.9已知函数,若将函数的图像向左平移个单位,所得图像关于轴对称,则实数的取值集合是_10.已知数列满足,为数列的前项和,则_11已知数列满足,若对任意都有,则实数的取值范围是 1
7、2已知函数的图像与直线的三个交点的横坐标分别为,那么的值是_.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分 13. 已知为数列的前项和,且满足,则 ( C )A. B C D14在中,角所对的边分别为,则“”是“”的 ( A )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件 15有下列四个命题:只有在区间上,正弦函数才有反函数;与是同一函数;若函数的最小正周期为,则;函数的最小正周期为. 其中正确的命题个数为 ( A )A. B C D16对于实数,表示不超过的最大整数.
8、 已知正数数列满足,其中为数列的前项和,则( B )A B C D三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17(本题满分14分)设,求的值.解:.18(本题满分14分)本题共有2个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分8分 已知等比数列满足:公比,且.(2) 求数列的通项公式;(2)设点在函数的图像上,求数列的前项和的最大值,并求出此时的.解:(1)由又(2)由题意,是等差数列,且.19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知函数为偶函数,且函数图象的两相邻对称轴间的距离为.(1)求的值
9、;(2)将函数的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象,求的单调递减区间.解:(1)化简得:为偶函数,又,又函数图象的两相邻对称轴间的距离为,因此.(2)由题意得令,即的单调递减区间为.20.(本题满分16分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分10分.如图,公路围成的是一块角形耕地,其中顶角满足.在该土地中有一点,经测量它到公路的距离分别为.现要过点修建一条直线公路,将三条公路围成的区域建成一个工业区(1)用来表示;(2)为尽量减少耕地占用,问等于多少时,使该工业区面积最小?并求出最小面积.解:(1),.(2)由正弦定理,得当
10、且仅当,即时等号成立. 解得.答:当时,该工业区的面积最小值为.21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分用部分自然数构造如图的数表:用表示第行第个数,使得,每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和,设第行中的各数之和为.(4) 已知,求的值;(5) 令,证明:是等比数列,并求出的通项公式;(6) 数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列?若存在,求出的关系,若不存在,说明理由.解:(1).(2)证明:(常数)又是以为首项,为公比的等比数列. 故.(3)不妨设数列中存在不同的三项恰好成等差数列. 即化简得:显然上式左边为偶数,右边为奇数,方程不成立. 故数列中不存在不同的三项恰好成等差数列.