高中数学基本不等式的巧用a＋b1．基本不等式： ab≤ 2(1)基本不等式成立的条件： a＞ 0， b＞ 0.(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号．2． 几个重要的不等式22≥2ab(a，b∈R)；(2)baa＋ b 2， ∈；(1)a＋ b＋ ≥ 2(a，b 同号 )；(3)ab≤R)ab2(a b(4)a2＋ b2≥a＋b 2(a， b∈R)．223． 算术平均数与几何平均数a＋ b设 a＞0，b＞0，则 a，b 的算术平均数为 2 ，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．4． 利用基本不等式求最值问题已知 x＞0，y＞0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时， x＋ y 有最小值是 2 p.(简记：积定和最小 )p2(2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 x＝ y 时， xy 有最大值是 4 .(简记：和定积最大 )一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如 a2＋b2≥2ab 逆用就是ab≤a2＋ b2；a＋b≥ ab(a， b＞ 0)逆用就是 ab≤ a＋ b 2(a， b＞ 0)等．还要注意 “ 添、拆项 ”222技巧和公式等号成立的条件等．两个变形(1)a2＋ b2≥ a＋b 2≥ab(a，b∈R，当且仅当 a＝b 时取等号 )；222＋b22＞ ， ＞ ，当且仅当＝时取等号．a≥ a＋ b≥ ab≥(2)221 1(a0 b 0a b)a＋b这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．三个注意1(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提 “一正、二定、三相等 ” 的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意 “ 拆”“ 拼 ”“ 凑 ”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“ 定”“ 等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．应用一：求最值例 1：求下列函数的值域211（ 1） y＝3x＋ 2x 2（ 2） y＝ x＋ x解题技巧：技巧一：凑项例 1：已知 x5，求函数 y4x21的最大值。
44x5技巧二：凑系数例 1. 当时，求 yx(82x) 的最大值技巧三 ： 分离x27x10( x1) 的值域例 3. 求 yx 1技巧四 ：换元技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f ( x)a的单调性xx例：求函数 yx25的值域x24练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值 .（ 1） yx23x1,( x0)（2） y 2x1, x3(3) y2sin x1 , x(0, )xx3sin x2．已知 0 x1，求函数 yx(1x) 的最大值. ；3． 0x2y x(23x) 的最大值 .，求函数3条件求最值1. 若实数满足 ab2，则 3a3b 的最小值是.变式：若 log 4xlog 4y2 ，求11的最小值 . 并求 x, y 的值xy技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错22：已知 x0, y 0 ，且 191，求 xy 的最小值xy变式： （ 1）若 x, yR且2xy1，求 11 的最小值xy(2) 已知 a,b, x, yR且 ab1 ，求 xy 的最小值xy技巧七、已知x， y 为正实数，且x 2 ＋ y 2 ＝ 1，求 x1＋ y2 的最大值 .21技巧八：已知a， b 为正实数，2b＋ ab＋ a＝ 30，求函数 y＝ ab 的最小值 .技巧九、取平方5、已知 ，为正实数， 3 ＋ 2＝ 10，求函数 ＝ 3x＋2的最值 .x yxyWy应用二：利用基本不等式证明不等式1．已知 a,b, c 为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca1）正数 a， b， c 满足 a＋ b＋c＝ 1，求证： (1 －a)(1 － b)(1－ c) ≥8abc例 6：已知 a、 b、 cR ，且 abc1。
求证：1111118abc应用三：基本不等式与恒成立问题例：已知 x 0, y 0 且 1 9 1，求使不等式 x y m 恒成立的实数 m 的取值范围x y应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若 a b 1, Plg a lg b ,Q1 (lg a lg b), Rlg( a b) ，则 P, Q, R 的大小关系是.22解：（ 1） y＝ 3x 2 ＋12 ≥ 23x 2 ·12＝ 6 ∴值域为 [6 ， +∞）2x2x11（ 2）当 x＞ 0 时， y＝ x＋ ≥ 2x·＝ 2；xx31 1 1当 x＜0 时， y＝ x＋ x = －（－ x－ x ）≤－ 2 x· x = － 2∴值域为（－∞，－ 2] ∪ [2 ，+∞）解：因 4x5 0 ，所以首先要 “调整” 符号， 又 (4 x 2)g1不是常数， 所以对 4x2 要进行拆、 凑项，4x5Q x5 , 5 4x 0 ， y 4 x 215 4x5132 3 144 x54 x1x1x 1当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，54xymax15 4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
解析：由 知， ，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式， 但其和不是定值 注意到 2x (8 2x) 8为定值， 故只需将 y x(8 2x) 凑上一个系数即可当 ，即 x＝2 时取等号 当 x＝2 时， y x(8 2x) 的最大值为 8评注：本题无法直接运用基本不等式求解， 但凑系数后可得到和为定值， 从而可利用基本不等式求最大值解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（ x＋ 1）的项，再将其分离当, 即时 , y2 （ x1)459 （当且仅当 x＝ 1 时取“＝”号）x1解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t= ＋ 1。