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1、概率初步章末小结与提升概率初步事件确定性事件必然事件:在一定条件下,必然会发生的事件,P(A)=1不可能事件:在一定条件下,必然不会发生的事件,P(A)=0随机事件:在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件,0P(A)1概率定义:刻画一随机事件发生可能性大小的数值公式:在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A包含其中的m种结果,则P(A)=mn求法用列举法求概率列表法画树状图法用频率估计概率:利用多次重复试验,通过统计试验结果去估算概率类型1必然事件、不可能事件、随机事件典例1下列说法中不正确的是()A.抛掷一枚硬币,硬币落地时正面朝上是随机事件B.把4个球放入三个抽
2、屉中,其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件C.任意打开九年级下册数学教科书,正好是97页是确定事件D.一只盒子中有白球m个,红球6个,黑球n个(每个球除了颜色外都相同),如果从中任取一个球,取得的是红球的概率与不是红球的概率相同,那么m与n的和是6【解析】事件分为确定事件和不确定事件,确定事件分为必然事件和不可能事件.本题的易错点在于把随机事件当作确定事件,从而错选.【答案】 C【针对训练】1.下列事件是必然事件的是(A)A.地球绕着太阳转B.抛一枚硬币,正面朝上C.明天会下雨D.打开电视,正在播放新闻2.下列事件:随意翻到一本书的某页,这页的页码是奇数;测得北京某天的最高气温是100 ;掷一
3、次骰子,向上一面的数字是2;度量四边形的内角和,结果是360.其中是随机事件的是.(填序号)类型2概率的计算典例2一袋中装有形状大小都相同的四个小球,每个小球上各标有一个数字,分别是1,4,7,8.现规定从袋中任取一个小球,对应的数字作为一个两位数的个位数;然后将小球放回袋中搅拌均匀,再任取一个小球,对应的数字作为这个两位数的十位数.(1)写出按上述规定得到所有可能的两位数;(2)从这些两位数中任取一个,求其算术平方根大于4且小于7的概率.【解析】(1)用列表分析所有可能的结果:个位十位1478111141718441444748771747778881848788则所得的所有可能的两位数为:
4、11,14,17,18,41,44,47,48,71,74,77,78,81,84,87,88.(2)算术平方根大于4且小于7的共6个,分别为17,18,41,44,47,48,则所求概率P=616=38.【针对训练】1.某校安排三辆车,组织八年级学生开展“合肥工业游”活动,其中方圆和吴敏同学都可以选三辆车中的任何一辆搭乘,他们乘坐同一辆车的概率是(B)A.14B.13C.34D.122.(安徽中考)如图,管中放置着三根同样的绳子AA1,BB1,CC1.(1)小明从这三根绳子中随机选一根,恰好选中绳子AA1的概率是多少?(2)小明先从左端A,B,C三个绳头中随机选两个打一个结,再从右端A1,B
5、1,C1三个绳头中随机选两个打一个结,求这三根绳子连接成一根长绳的概率.解:(1)小明可选择的情况有3种,每种发生的可能性相等,恰好选中绳子AA1的情况只有1种,所以小明恰好选中绳子AA1的概率P=13.(2)画树状图如下:其中左、右打结是相同字母(不考虑下标)的情况,不可能连结成为一根长绳,所以能连结成为一根长绳的情况有6种:左端连AB,右端连A1C1或B1C1;左端连BC,右端连A1B1或A1C1;左端连AC,右端连A1B1或B1C1.故这三根绳子连结成为一根长绳的概率P=69=23.类型3概率的实际应用典例3“校园诗歌大赛”结束后,张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)进
6、行整理,并分别绘制成扇形统计图和频数直方图的部分信息如下:(1)本次比赛参赛选手共有人,扇形统计图中“69.579.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为;(2)赛前规定,成绩由高到低前60%的参赛选手获奖.某参赛选手的比赛成绩为78分,试判断他能否获奖,并说明理由;(3)成绩前四名是2名男生和2名女生,若从他们中任选2人作为获奖代表发言,试求恰好选中1男1女的概率.【解析】(1)50;30%.(2)不能;由频数分布直方图可得“89.599.5”这一组人数为12人,1250=24%,则79.589.5和89.599.5两组占参赛选手的60%,而7879.5,所以他不能获奖.(3)由题意得树状图如
7、下:由树状图知,共有12种等可能结果,其中恰好选中1男1女的结果共有8种,故P=812=23.【针对训练】1.小明和小红玩抛硬币游戏,连续抛两次.小明说:“如果两次都是正面,那么你赢;如果两次是一正一反,则我赢.”小红赢的概率是14.据此判断该游戏不公平.(填“公平”或“不公平”)2.经过校园某路口的行人,可能左转,也可能直行或右转. 假设这三种可能性相同,现有小明和小亮两人经过该路口,请用列表法或画树状图法,求两人之中至少有一人直行的概率.解:依据题意,列表得:小亮小明左转直行右转左转(左转,左转)(左转,直行)(左转,右转)直行(直行,左转)(直行,直行)(直行,右转)右转(右转,左转)(
8、右转,直行)(右转,右转)或画树状图得:由表格(或树状图)可知,共有9种可能出现的结果,每种结果出现的可能性相同,其中两人中至少有一人直行的结果有5种:(左转,直行),(直行,左转),(直行,直行),(直行,右转),(右转,直行),所以P(两人中至少有一人直行)=59.类型4用频率估计概率典例4在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个,某学习小组做摸球试验,将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回袋中,不断重复试验,下表是活动进行中的一组统计数据:摸球次数n1001502005008001000摸到白球的次数m5896116295484601摸到白球的频率mn0
9、.580.640.580.590.6050.601(1)请估计:当n很大时,摸到白球的频率将会接近.(精确到0.1)(2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个?(3)解决了上面的问题,小明同学猛然想起过去一个悬而未决的问题,这个问题是:在一个不透明的口袋里装有若干个白球,在不允许将球倒出来的情况下,如何估计白球的个数(可以借助其他工具及用品)?请你运用统计与概率的思想和方法解决这个问题,写出解决这个问题的主要步骤及估算方法.【解析】(1)由表中数据可以看出,当摸球次数大于500时,摸到白球的频率稳定在0.6左右,故当n很大时,摸到白球的频率约为0.6.(2)白球有200.6=12(个),黑
10、球有200.4=8(个).(3)标记:从口袋中摸出一定数目的白球做上标记,然后放回口袋中,充分搅匀;试验:进行多次摸球试验(每次摸出一个球,再放回),记录摸到标记球的次数,计算频率,由频率估算概率;估算:有标记球的个数摸到有标记球的概率=白球总个数.【针对训练】1.在一个不透明的袋子中有1个红球,1个绿球和n个白球,这些球除颜色外都相同.(1)从袋中随机摸出1个球,记录下颜色后放回袋子中并搅匀,不断重复该试验,发现摸到白球的频率稳定在0.75,则n的值为6;(2)当n=2时,把袋中的球搅匀后任意摸出2个球,求摸出的2个球颜色不同的概率.解:(2)任意摸出2个球,共有12种等可能的结果,即(红,
11、绿),(红,白1),(红,白2),(绿,红),(绿,白1),(绿,白2),(白1,红),(白1,绿),(白1,白2),(白2,红),(白2,绿),(白2,白1),其中2个球颜色不同的结果有10种,则所求概率为56.2.在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验,统计发芽种子数,获得如下频数表.试验种子n(粒)1550100200500100020003000发芽频数m14459218847695119002850发芽频率mn10.800.900.920.940.9520.951ab(1)计算表中a,b的值;(2)估计该麦种的发芽概率;(3)如果该麦种发芽后,只有87%的麦芽可以成活,现有100千克
12、麦种,则有多少千克的麦种可以成活?解:(1)a=19002000=0.95,b=28503000=0.95.(2)随着大量重复试验,发芽频率逐渐稳定在0.95附近,所以该麦种的发芽概率约为0.95.(3)1000.9587%=82.65(千克).3.4件同型号的产品中,有1件不合格品和3件合格品.(1)从这4件产品中随机抽取1件进行检测,不放回,再随机抽取1件进行检测.请用列表法或画树状图的方法,求两次抽到的都是合格品的概率;(解答时可用A表示1件不合格品,用B,C,D分别表示3件合格品)(2)在这4件产品中加入x件合格品后,进行如下试验:随机抽取1件进行检测,然后放回,多次重复这个试验,通过大量重复试验后发现,抽到合格品的频率稳定在0.95,则可以推算出x的值大约是多少?解:(1)共有12种情况,抽到的都是合格品的情况有6种,P(两次抽到的都是合格品)=612=12.(2)大量重复试验后发现,抽到合格品的频率稳定在0.95,抽到合格品的概率等于0.95,x+3x+4=0.95,解得x=16.1
