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1、2015届普陀区高三二模数学试卷（文科）2015.04一、填空题（共14题，每题4分，满分56分）1.若（为虚数单位），则实数 .2.若函数的最小正周期为，则 .3. 集合，则 .4. 若，则函数的单调递减区间为 .5.直线与的夹角的大小为 .（结果用反三角函数表示）6.如图，若，则以为长半轴，为短半轴，为左焦点的椭圆的标准方程为 .7.函数，若函数是偶函数，则 .8.若非负实数满足，则的最小值为 .9.一个底面置于水平面的圆锥，若主视图是边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积为 .10.如图，机车甲、乙分别停在处，且，甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的，甲沿北偏东的方向移动，乙沿正北方向移动
2、，若两者同时移动100分钟，则它们之间的距离为 千米.11.一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中5个红色，2个黑色.经过充分混合后，从袋中随机地取出2个小球.则至少有一个黑球的概率为 （结果用最简分数作答）.12.若正方形的边长为1，且则 .13.已知复数满足，若，则在复平面上对应的点组成的图形的面积为 .14.，用记号 表示不小于实数的最小整数，例如，；则函数的所有零点之和为 .二、选择题（共4题，每题5分，满分20分）15. 表示直线，表示平面，下列命题正确的是（ ）A.若，则 B. 若， ，则C. 若，则 D.若，则16.”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（
3、）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.非充分非必要条件17. 在的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是（ ）A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项18.已知均为正整数，记为矩阵中第行、第列的元素，且，（其中，）；给出结论：；若为常数，则.其中正确的个数是（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个三、解答题（本大题共5题，写出必要的文字说明与步骤）19.（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）在正方体中，是棱的中点，四棱锥的体积为，求异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.20.（本题满分14分，第1小题6分，第2小
4、题8分）已知函数，.（1）若直线是函数的图像的一条对称轴，求的值；（2）若，求的值域.21.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数的反函数为（1）若，求实数的值；（2）若关于的方程在区间内有解，求实数的取值范围；22.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题5分）如图，射线所在的直线的方向向量分别为，点在内，于，于；（1）若，求的值；（2）若，的面积为，求的值；（3）已知为常数，的中点为，且，当变化时，求的取值范围.23.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知数列的前项和为，且，（1）若，求数列的前项和；（2）若，求证：数列为等比数列，并
5、求出其通项公式；（3）记，若对任意的，恒成立，求实数的最大值.2015届普陀区高三二模数学试卷（文科）答案2015.04一、填空题（共14题，每题4分，满分56分）1.若（为虚数单位），则实数 .2.若函数的最小正周期为，则 2 .3. 集合，则 .4. 若，则函数的单调递减区间为 .5.直线与的夹角的大小为 .（结果用反三角函数表示）6.如图，若，则以为长半轴，为短半轴，为左焦点的椭圆的标准方程为 .7.函数，若函数是偶函数，则 1 .8.若非负实数满足，则的最小值为 .9.一个底面置于水平面的圆锥，若主视图是边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积为 .10.如图，机车甲、乙分别停在处，且，甲的
6、速度为4千米/小时，乙的速度是甲的，甲沿北偏东的方向移动，乙沿正北方向移动，若两者同时移动100分钟，则它们之间的距离为 千米.11.一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中5个红色，2个黑色.经过充分混合后，从袋中随机地取出2个小球.则至少有一个黑球的概率为 （结果用最简分数作答）.12.若正方形的边长为1，且则 5 .13.已知复数满足，若，则在复平面上对应的点组成的图形的面积为 .14.，用记号 表示不小于实数的最小整数，例如，；则函数的所有零点之和为 .二、选择题（共4题，每题5分，满分20分）15. 表示直线，表示平面，下列命题正确的是（ D ）A.若，则 B. 若， ，则C.
7、若，则 D.若，则16.”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ A ）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.非充分非必要条件17. 在的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是（ B ）A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项18.已知均为正整数，记为矩阵中第行、第列的元素，且，（其中，）；给出结论：；若为常数，则.其中正确的个数是（ B ）A.0个B.1个C.2个D.3个三、解答题（本大题共5题，写出必要的文字说明与步骤）19.（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）在正方体中，是棱的中点，四棱锥的体积为，求异
8、面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.解：直线与所成的角的大小为.20.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数，.（1）若直线是函数的图像的一条对称轴，求的值；（2）若，求的值域.解：（1），其对称轴为，因为直线线是函数的图像的一条对称轴，所以，又因为，所以即.(2)由（1）得所以的值域为.21.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数的反函数为（1）若，求实数的值；（2）若关于的方程在区间内有解，求实数的取值范围；解：（1）（2）.22.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题5分）如图，射线所在的直线的方向向量分别为，点在内，于，于；
9、（1）若，求的值；（2）若，的面积为，求的值；（3）已知为常数，的中点为，且，当变化时，求的取值范围.解：（1）；（2）；（3）设，设直线的倾斜角为，则，根据题意得代入化简得动点轨迹方程为.当且仅当时，取得最小值.所以，的取值范围是.23.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知数列的前项和为，且，（1）若，求数列的前项和；（2）若，求证：数列为等比数列，并求出其通项公式；（3）记，若对任意的，恒成立，求实数的最大值.解：（1）(2)由代入得，当时，因为，代入上式整理得，所以的常数.当时，所以数列是等比数列，首项为 ，公比为，其通项公式为（3）由（2）得，它是个单调递减的数列，所以 对任意的，恒成立，所以.由知，所以数列是单调递增的，最小值为，因此，实数的取值范围是,的最大值为0.- 15 -
