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1、函数之周期性与对称性的理解首先请大家辨析一下这几个等式关系：以上6个等式，其中1）、4）、5）是在讲对称性，2）、3）、6）是在讲述周期性。在教学过程中，我们发现很多学生到高三了还无法自如地辨析，其实大家只需记住六字口诀就能加以辨析：“同周期、异对称”1） 、4）、5）中x的系数相同，即为周期，2）、3）、6）中x的系数相异，即为对称，这样我们就能迅速辨析哪些是在讲周期，哪些是对称。那具体周期为多少？具体关于什么对称呢？这又是大家一个容易混淆的点。一、下面先讲对称问题的理解，以1）为例：我们要从本质上理解这个等式：令第一个括号里的，则满足，即横坐标的和为2，那就意味着两个横坐标的中点为。同样的
2、，令，则满足，即这两个点的纵坐标和为零，那就意味着纵坐标互为相反数。那么如果现在我换种方式描述，我说两个点，满足，那 我们就可以在平面直角坐标系中把这两个点的对称关系画出来了。由图1我们可以很直观的看出来这两个点关于（1,0）中心对称，这两个点都在y=f(x)上，从而整个函数关于（1,0）中心对称。同样的，我们分析4），在图像上表示对称关系如下：A、B两点关于x=1轴对称，那么以后遇到对称性问题，我们只需在脑海里画两个点，这样函数的对称性就清晰了。同理，我们来看一下6），在坐标系下表示两个点后，很容易理解这个函数关于（1,1）中心对称。所以，我们都是表示函数y=f(x)关于（1,0）中心对称，
3、抓住核心本质，。现在大家再回过头来看几个常见的对称性结论，是不是觉得清晰多了呢？比如： 函数满足时，函数的图像关于直线对称； 函数满足时，函数的图像关于点对称；二、 周期性周期性的证明都是“退一步海阔天空”3）这种类型很直观，周期为2,2）、6）属于同一种类型，都是和定型，周期为4，具体证明大家自己尝试一下，常见的周期性模型也请大家自己去总结，这个一般的参考书上都有。重要的是它的证明，请大家自己多思考。三、 周期性与对称性结合真正让周期和对称结合起来的三个结论很重要，在这里加以阐述1. 如果函数y=f(x)同时关于（a,0）、（b,0）中心对称，那么这个函数的最小正周期为证明：函数关于（a,0）中心对称，则，同理，两式相减，得，从而下面请大家自行证明下面两个结论：2. 如果函数y=f(x)同时关于x=a、x=b轴对称，那么这个函数的最小正周期为3. 如果函数y=f(x)同时关于（a,0）中心对称，x=b轴对称，那么这个函数的最小正周期为。下面给两个练习让大家熟悉一下：已知定义在上的函数满足，则（ )A B C D定义在上的奇函数，对于，都有，且满足，则实数的取值范围是 .另外提供一个思考点：对于函数y=f(x)，如果满足,那么函数f（x）关于y轴对称那么现在请问：与函数？两者有什么区别？
