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1、第七章7.0 引言7.0.1“变换”的概念在数学上，为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，常采用“变换”手段。 例如初等数学中的利用对数将较复杂的乘、除运算化为较简易的加、减运算的做法，事实上就是一种 变换，可称他为对数变换。详细说即，为求两数A与B之积AB (商A/B ),可使用对数变换、变换后的 加(减)法运算、反对数变换三个步骤来完成：(1) 、对数变换：对已知的A、B分别求出对数lgA、lgB ；(2) 、变换后的加(减)法运算：求出两个对数的和lgA + lgB (差lgA-lgB)；(3) 、反对数变换：求出上述和(差)的反对数，即是AB( A/B)：AB = lg-1(lg A
2、+ lg B) (A / B = lg-1 (lg A - lg B)。这种方法总起来说是根据定理：“积(商)的对数等于对数的和(差)：谊AB) = lgA + lgB (lg(A/B) = lgA-lgB )”得出的。下图直观说明了对数变换的内在关系：乘(除)运算 一常规域中的运算：正实数A,B积 AB (商 A/B )对数变换lg ()反对数变换lg-1( )变换后之域中的运算：对数IgA、IgB加(减)运算对数和 lgA+lgB=lg(AB)( 对数差 IgA-IgB=Ig(A/B) )从数确定其对数值的变换称为正变换，从对数值确定其反对数值的变换称之为反变换或逆变换。数与 其对数值在一
3、定条件(即 A、 B 为正实数)下是一一对应的。变换前的数常称为变换后的数的象原，变换 后的数常称为变换前的数的象。再例如解析几何中的坐标变换、复变函数中的保角变换等都属于这种变换，后面要谈的积分变换也是 这样一类变换。当然，说变换方法能化复杂运算为简单运算，不仅仅是因为变换后的运算较简单，实际上还依赖于变 换及反变换容易进行，或者虽不易进行，但却可行，并且已由人们造表(如对数表、积分变换表等)，通 过查表而显得容易罢了。另外，人们使用变换方法，有时并不是为了计算和求解容易，而是为了研究的容 易。这时使用变换常常是为了容易提取研究对象的信息、规律。也即并不是为了直接去求解，而是通过变 换建立一
4、种数学模型，以供研究。这时并不追求变换与反变换的快、易，而是追求在正变换后而反变换前 的象集中容易显示信息、容易分析研究问题而已,此时甚至用不着去考虑反变换。例如自动控制理论中采 用拉普拉斯变换建立数学模型传递函数后，立足于复频域中作研究的方法就是如此。7.0.2 “积分变换”的概念式子F (a) = j bf (t) K (t, a )dt(1)被用来定义函数f(t)的积分变换。其中K (t ,a )是已知的关于t和a的一个二元函数，称为积分变换的核。 若a和b的值是有限的，则称FQ)是f (t)的有限积分变换，否则称为无限积分变换。可见，所谓积分变 换，就是通过含有参变量Q的积分，把一个函
5、数变成另一个函数的变换。或者说，就是把某函数类A中的 函数f (t)通过上述积分的运算变成另一函数类B中的函数F(a)。积分变换又称为运算微积。f (t)称为象 原函数，F(a)称为f (t)的象函数，在一定条件下，它们是一一对应的，而变换是可逆的。当选取不同的 积分域和变换核时，就得到不同名称的积分变换。如傅立叶变换F(a ) = f f (t)e-iadt ；拉普拉斯变换+8F(a ) = J f (t)e-仍dt ；汉克尔变换0+8F(a) = J f (t)tJ (at)dt ，n0这里J (a t)是第一类n阶贝塞尔函数; n梅林变换F (a ) = f f (t)ta-idt ，0
6、从泛函的角度看，积分变换是一类泛函。傅立叶变换和拉普拉斯变换都是一种泛函。这只要将(1)式 改写成F(a) = f f (t)K(t,a)dt = Ff (t),a(当f 看作变量，a 看作参变量时)，a或改写成F(a) = f f (t)K(t,a)dt = F?f (t)(当f看作变量，a干脆被看作常量时)，a即可明白。要注意F、F、F等是不同的映射，它们包含着不同的被看作是不动的部分。所谓a看作参12变量，即暂时看作常量(更妥当点，应说成“现时看作常量，”至于以后，不排斥人们去考虑它作为变量)。 也就是说，暂时固定a，可将11)K(t,a )dt看作泛函算符，这一算符再作用到函数f (t
7、)上，结果得出的 a是对应于函数f (t)的一个数Ff (t),a 。 还可以把积分变换看成是一类映射(因线性空间的映射称为算子，故线性空间的积分变换也说成是积 分算子)。如前面就曾说(1)式将函数f (t)变换成另一个函数F(a)。这其实就是把a看作变量后而言的。7.1 傅立叶积分与傅立叶定理7.1.1从傅立叶级数到傅立叶积分傅立叶级数能将周期函数进行谐波分解，而傅立叶积分能将非周期函数进行谐波分解。说得更详细些， 即傅立叶级数能将一个周期函数表示成无穷多个离散的频率为基频整数倍的谐函数之和，而傅立叶积分则 能将一个非周期函数表示成整个连续的频率区间上的谐函数的积分。傅立叶级数还可表示成复数
8、形式，由 此又可导出傅立叶积分的复数形式，随之便产生了一种积分变换傅立叶变换及其逆变换。以上所说的傅立叶级数及傅立叶积分，只限于对函数进行谐函数或由它导出的复数形式（既虚指数函 数e ）的分解。这种情况下，所说傅立叶级数及傅立叶积分可看作是狭义的。其实，以谐函数或虚指数 函数作为函数分解的基底，只是一种特例。更一般地，可以任一种正交函数作为基底进行傅立叶分解。这 里正文主要讨论狭义的傅立叶级数及傅立叶积分，关于广义的针对一般正交函数的傅立叶分解，我们将在 附录中给出初步的讨论。在数学分析课程中学习傅立叶级数时，我们已知有如下定理：傅立叶级数定理：任一个以T为周期的周期函数f/t），如果在-上满
9、足狄利克雷（Dirichle t） 条件（简称狄氏条件，即函数在-f上满足：连续或只有有限个第一类间断点；只有有限个极 值点），那么在-f上就可以展成傅立叶级数。在fT （t）的连续点处，其傅立叶级数的三角形式为其中f (t) = ao + 才(a cos nt + b sin nt)T2nnn=1(n = 1,2,3,)称为角频率或圆频率2兀小1 = 2toj，( u =)TT2 fxa = J 2 f (t)dt0 T T T-22卩 a = J 2 f (t) cos(n t)dt n T T T-22 f Tb = J 2 f (t) sin(n t)dtn T X T-2U称为频率；
10、式(3)、(4)、(5)称为函数f (t)的傅立叶系数。(2)(3)(4)(5)由（3）、（4）、（5）这三个式子可见，傅立叶系数a （可将a合并到a中去，合并后n = 0,1,2,3,） n0n和b都是n （或n ）的函数，其中a是n的偶函数，即有a = a ；-n而b是n的奇函数，即有nb =-b。如果把式（2 ）中的同频率项合并，则式（2 ）可改写成（根据三角函数二角和公式：c o so（ + P） = c o Si cog -s ina s inP ）:f (t) = 0 + A cos(et + 申)+ A cos(2et + 申)+ T 2 1 1 2 2也即其中fT (t)二6)
11、7)其中第一项0是常A = a00A = x a2 + b2 , n = 1,2,3,nn n. b 申=Arctg -nna由式（7）可见，A是n的偶函数，即有nA 二 A ；9而9是n的奇函数，即有n9=9 。如果将式（6）化为式（2）,系数关系为：a = A00a = A cos 9 , n = 1,2,3，nnnb = 一A sin 9nnn由式（6）可见，任何满足狄氏条件的周期函数可分解为一系列谐函数分量之和。Aa1 一数项，它是周期函数的直流分量。结合（3）式看，-若=0 = J 2 f （t）dt，可知它实际上就是函数f （t）22 T T TT一 2在区间2,内的平均值。式中第
12、二项ACos（et + 91）称为基波分量或一次谐波分量，它的角频率 （可称之为基波角频率或简称为基角频）与原周期函数的相同，A1是基波振幅，91是基波初相位。式中第三 项A cos（2et + 9 ）称为二次谐波分量，它的频率是基波频率的二倍，A是二次谐波振幅，9是其初相2 2 2 2位。一般而言，A cos（nt + 9 ）称为n次谐波分量，其角频率为n ,其振幅为A，其初相位nnn为9。（6）式表明，周期函数可被分解为各次谐波之和，并且这些谐波的角频率是基波角频o的整数倍。n以上的式（2）或式（6）称为傅立叶级数的三角形式或傅立叶级数的实数形式。这种形式虽意义比较 明确，却运算不便，因而
13、常把实数形式转换为（虚皿数形式或称复数形式。这只要利用欧拉公式ei9 = cos 9 + i sin 9cos9 = -2(gi9 + e i9), sin9 = i g(ei9 一 e i9)即可：如果令f (t) = 0 + 另(a T2n =1=0 + a2n =1a y 1=0 +_(a22 nn =1cosnot+ b sin not)n11(eint + e inot ) b i (eint e inot )2 21ib )e inotb )e-inotn 2 n n1 fT =j 2 f (t)dt2 T 一 T T一 2=-!- (a - ib )2 nn1 TT=j 2 f
14、(t)cos nwtdt - ij 2 f (t)sin nwtdtT/rTyr一 2一 21 (V = j 2 f (t)cos nwt 一 i sin nwtdtT z t一 2，T2 f (t)e-inwtdt(n = 1,2,3，)T T21 1 fz=(a + ib ) = j 2 f (t)einwfdt(n = 1,2,3,)2 n n T T T2而 c 、 c 、 c 可合写成一个式子：0n-nT2 f (t)e-intdt T T2(n = 0,1,2,)9）10)11)12)若又令(n = 0,1,2,)则（2）式从而（8）式可写成f (t) = cc e叫 + c e-叫T0n一 nn=1(n = 1,2,3,)f (t)二兰 c e叫(n = 0,1,2,)Tn13)fT(t) =N T fT (T )e-叱必eiwtn=-g214)这就是傅立叶级数的（虚）指数形式或说傅立叶级数的复数形式c称为函数f （t）的复傅立叶系数。 nT为了与后续要讲的傅立叶变换的符号统一，
