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1、专题0 8导数中的极值和极值点偏移一、重点题型目录【题型】一、求已知函数的极值【题型】二、根据极值点求参数【题型】三、函数或导函数图象与极值的关系【题型】四、函数或导函数图象与极值点的关系【题型】五、求已知函数的极值点【题型】六、函数最值与极值的关系【题型】七、导数中的极值偏移问题二、题型讲解总结【题型】一、求已知函数的极值例 1.(2023全国高三专题练习)等比数列%中的项4,5是函数/(x)=l -6+9X-2的极值点，则“5 3=()A.3 B.y3 C.-/D.G【答案】D【分析】先根据题意确定函数的极值点，进而得到4 4,然后根据等比中项求得答案.【详解】由题意，,(X)=3X2-1
2、2X+9=3(X-1)(X-3),则x w(e,l)时0,函数单调递增，1,3)时/(力 0,函数单调递增，于是 户 1 和户3 是函数的两个极值点，故为,“心是/(x)=3 f-1 2 x+9 =0 的两个根，所以4 4O5=3,所以 =4 4O5=3,又 4+4O5=4 O,所以 q 0,al05 0,设公比为 9，a5 3 =acf2 0-所以55=G.故选：D.例 2.(2023全国高三专题练习)下列函数中存在极值点的是().I C.A.y=-B.y=x-eXC.y=2 D.y=3【答案】B【分析】对每个选项求导，然后判断即可【详解】对选项A,y=-4 0,故没有极值点;故选：B例 3
3、.(2023 全 国 高三专题练 习)已知函数/(x)=2mv-至多有2 个不同的零点，则实数。的最大值为().A.0 B.1 C.2 D.e【答案】C【分析】先将零点问题转化为两函数交点问题，构造函数，研究其单调性，极值，画出函数图象，从而得到!?=0 或 J ,再次构造关于的函数Ma)=I研究其单调性，解出不等式，求出数。的最大值.【详解】令 x)=2 e-e 2=o,得到马=4，e e函数/(X)=加1-e f 至多有2 个不同的零点，等价T m =乌 至 多 有两个不同的根，e eY 2 9/7即函数y 与y=今 至多有2 个不同的交点e e2令 g(x)=5,则当0 x O,g(x)
4、单调递增,当XVO或 2 时,g(x)O,g(x)单调递减,所以X=O与X=2为函数g(x)的极值点，且 g(0)=0,g(2)=5,且 g(x)=O 在 R 上恒成立，其中 O，解得：q=Oe设M G=与，则”(4)=生 学，e e当a l时，f()v,所以/?(“)=与 在(-,)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，e由可得：h(a)h(2),所以2,综上：实数。的最大值为2故选：C【点睛】对于函数零点问题，直接求解无法求解时，可以转化为两函数的交点问题，数形结合进行解决.例4.(2023全国高三专题练习)已知f和 +3是函数/(x)=x3+加+bx+c的零点，且f+3也是函数f(x)的
5、极小值点，则 x)的极大 值 为()4 4A.1 B.4 C.-D.-3 9【答案】B【分析】根据给定条件，结合三次函数的特点可得/(X)=(X T)(X T-3)2,再借助导数求出极大值作答.【详解】因函数f()在t+3处取得极小值0,又，是函数f()的另一零点，因此函数X)只有两个零点，从而有/(X)=(XT)(XT-3)2,求导得：f(x)=3(x-f-l)(xT-3),当xr+3时，,()0,当t+1 vxr+3时，,()0,于是，f(x)在=+3处取得极小值，在x=r+l处取得极大值/(f+l)=4,所以/(x)的极大值为4.故选：B【题型】二、根据极值点求参数例5.(2023全国高
6、三专题练习)已知函数/(x)=2+e*-l(R)有两个极值点，则实数。的取值范围为()A H。)B 1；。)C.什)D.C【答案】B【分析】将函数有两个极值点转化为其导数有两个零点进行求解即可.【详解】对原函数求导得，r(x)=2 x+a e 因为函数 犬)=+一 1(4 7?)有两个极值点，所以/(X)=O 有两个不等实根，即2 x+e =O 有两个不等实根，亦即F=2 x有两个不等实根.e令 g(x)=/，则 g可知g()在(-,1)上单调递增,在(l,+)上单调递减,所以 g(x)m a x =g=J又因为当X V o 时，g(x)0 时，g(x)O,2 C i 2所以“e 解得c 0
7、e即的范围是卜故选：B例 6.(2 02 3 全国高三专题练习)若函数f(x)=s i n +1)在区间 0,%)内有且只有两个极值点，则正数。的取值范围是()5 8 1 5 8)(7 1 3 1 7 1 3、A.B.不二 C.D._ 3 3 J|_ 3 3)(6 6 J|_ 6 6 J【答案】C【分析】根据极值点的定义，利用整体法，列出关于0 的不等关系，即可求得参数范围.【详解】因为X)在 0 有 2个极值点，也即/(X)在区间(U)取得一次最大值,一次最小值；式 冗 兀 又0 0,则当x w 0,乃)，y x+-,+-,要 使 得 满 足 题 意，只需%O,X X当0 x 2 时 f(x
8、)2 时/(x)0,AX)递增;(x)有极小值/=-2 1 n 2,无极大值.综上，有最小值-2 1 n 2,无最大值.故选：A例 8.(2023全国高三专题练习)已知函数/。)=?+(+111力，若X=I 是函数f()的唯一极值点，则实数Z的 取 值 范 围 是.【答案】k -l【分析】先求函数/*)的导函数f(x)=竺 华 二 D,由条件=l 是函数/()的唯一极值点，说明1+2 =0 在XG(O,)上无解，或有唯一解X=I,求实数人的取值【详解】/&)=?+&：+1 门 的定义域为(0,+8)X X X xX=I是函数/()的唯一极值点.=l是导函数/(X)=O的唯一根(I)e*+A =
9、O在(0,+)无变号零点令 g(x)=e*+%,则 g(x)=eO ,即 g(x)在(0,+)上单调递增此时 g(x)mm=l+%*O.*.k 1(Il)当 g(x)=e+Z 在(0,+)有解 =1 时，此时e+A=O,解得Z=-e此时/(X)在(0,1)和+)上均单调递增，不符合题意故答案为：k -【题型】三、函数或导函数图象与极值的关系例 9.(2023全国高三专题练习)已知定义在R 上的函数/(x),其导函数/(X)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()y.：!d ra o b cTexA./(6)()(C)B.函数/(x)在 X=C处取得最大值，在x=e 处取得最小值C.函数/()
10、在 x=c处取得极大值，在x=e 处取得极小值D.函数/()的最小值为【答案】C【分析】根据导函数的图象确定了(x)的单调性，从而比较函数值的大小及极值情况，对四个选项作出判断.【详解】由题图可知，当 c 时，,(%)0,所以函数“X)在(-?,q 上单调递增，又ahc,所 以 )6)F(c),故 A 不正确.因为r(c)=O,(e)=O,且当X O;当 c a e 时，f(x)e时，/(x)0.所以函数f (x)在 X=C处取得极大值，但不一定取得最大值，在 x=e处取得极小值，不一定是最小值，故 B 不正确，C 正确.由题图可知，当d x e 时，/(x)0,所以函数/(x)在 d,e 上
11、单调递减，从而/(d)f(e),所以D 不正确.故选：C.例 10.(2023全国高三专题练习)已知函数 x)的导函数的图像如图所示，则下列结论正确 的 是()A.-3 是 力 的极小值点C./(x)在区间(,3)上单调递减B.-1是/(x)的极小值点D.曲线y=(x)在X =2 处的切线斜率小于零【答案】D【分析】根据导函数图像，求得函数单调性，结合极值点定义，即可判断ABC选项，根据导数的定义和几何意义即判断D选项，从而得出答案.【详解】由图像知，当x 3 时，0,/(x)单调递增，当一3 x 3 时，,(x)0,f(x)单调递减，所以 力 在区间(F,-3),(3,田)内单调递增，在区间
12、(-3,3)内单调递减，-3是/(x)的极大值点，3 是/(x)的极小值点，故 ABC错误；又因为/(2)0,所以曲线y =(x)在x=2 处切线斜率小于零，故 D正确.故选：D.例 1 1.(2 0 2 3 全国高三专题练习)函数/(x)定义域为(“，其导函数尸(X)在(4。)内的图象如图所示，则函数/(x)在区间(力)内极小值点的个数是()【答案】A【分析】根据导函数的图象可判断出/(x)的单调性，结合极小值点的概念即可得结果.【详解】由尸(x)的图象可得:函数F(X)在(a,)上单调递增，在(%,%)上单调递减，在(2,4)上单调递增，在(x4,3 上单调递减，故X =W为函数F(X)的
13、极小值点,即F(X)在区间(,6)内极小值点的个数是1，故选：A.例 1 2.(2 0 2 3全国 高三专题练习)已知定义在S,切上的函数y =f(x)的导函数y =,f(X)的图象如图所示，给出下列命题：函数y =/()在区间卜，匕 上单调递减；_.ftn)+fn)./tn+ny若匕?”f I-h函数y =(x)在 ,句上有3 个极值点；若 x2 P()x3,则f(p)-f(q)f(p)-f(q)/故正确；中，看图知,在区间,J 上,/()0,在区间IX,%上,U)0)在区间上，同上，/(x)0,所以y=f(x)有一个极大值点和一个极小值点玉，故错误；中，看图知，在区间 马，匕f()o,且/
14、(X)递减，故 y=f()单调递增，故,(P)M(P)().故(p)-f(q)l(p)-f(7)o 的区间即是增区间，令r 5)0,d=0,不妨取a=l,先对函数/(x)=3+72+c+进行求导,根据x=-2,x=3时函数取到极值点知/(-2)=0,/=。，故可求出b,C的值，再根据函数单调性和导数正负的关系得到答案.【详解】解：不妨取。=1,f(X)=X3+bx2+ex,:.,(x)=3X2+2bx+c由图可 知(-2)=。，八 3)=0.12-4+c=0,27+6fo+c=0,./=-1.5,c=-18.,.y=x2-x-6,y=2x-,当 x2时，y,04 4 89 O.y=2-9-6
15、的单调递增区间为：，+8)4 8故选：D.例 14.(2023全国高三专题练 习)已知函数/(x)=sin(5+?)(0O)的最小正周期为万,将 的 图 象 向 右 平 移。个单位长度得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在(-,)上存在唯一极值点，则实数”的取值范围是()A，元 石 J b-24,4J c D-U,24.【答案】D【分析】首先求函数f(x)的解析式，再根据平移公式，求解函数g(x)的解析式，结合函数的图象，列式求实数”的取值范围.【详解】由题意知“X)的最小正周期T=至=%，.0=2,(x)=sin(2x+R,C DV 4+=sin 2X-I,作出g(x)的图象如图所示，4.
16、*.g(x)=sin 2数形结合可知a0a-24-a-24 解得：实数的取值范围是 1 24,T 故选：D例 15.(2023全国高三专题练习)如图是函数y=(x)的导数y=f (x)的图象，则下面判A.在(一 3,1)内f(x)是增函数C.在x=l 时 x)取得极大值【答案】BB.在(4,5)内/(x)是增函数D.在=2时 f(x)取得极小值【分析】根据y=f ()图象判断“)的单调性，由此求得“)的极值点，进而确定正确选项.3【详解】由图可知，/(x)在区间3,-),(2,4)上f()0 j(x)递增.所以x=l 不 是 的 极 值 点，=2是 x)的极大值点.所以ACD选项错误，B 选项正确.故选：B例 16.(2023全国高三专题练习)已知函数/(x)=*-x(x 0,a 0 且wl),贝 J()A.当=e 时，,f()w恒成立B.当O e 时，f(x)有两个零点D.存在 l,使得/(x)存在三个极值点【答案】ABC【分析】选项A,不等式变形后求函数的最值进行判断：选 项 B,确定函数的单调性，利用零点存在定理判断；选项C,结合选项A 中的新函数进行判断；选项D,求导，由导函数
