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1、永春二中2023-2024学年高一数学下学期第一次月考试卷解析（2024.3）一、选择题1设，向量，若，则等于ABC4D4【答案】D【分析】直接利用向量垂直的充要条件列方程求解即可.【解析】因为，且，所以，化为，解得，故选D.【点睛】利用向量的位置关系求参数是命题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.2已知，则（）ABCD【答案】C【分析】根据复数的概念及运算法则即可求解.【解析】设，则，因为，所以，所以，解得所以.故选：C.3已知向量满足，那么向量的夹角为（）ABCD【答案】D【分析】根据向量的夹角公式运算求解.【解析】由题意可得：，向量的夹角为
2、.故选：D4在中，内角的对边分别为，若，则（）ABCD【答案】B【分析】由结合余弦定理以及正弦定理的边化角公式得出，再由内角和定理以及三角恒等变换得出.【解析】由得，结合余弦定理，可得，再由正弦定理得，因为，所以，所以，得因为，所以故选：B5已知，复数，在复平面内对应的点为，若，三点共线，则的最小值为（）A9B8C6D4【答案】B【分析】根据复数对应的点共线可得，利用均值不等式求解即可.【解析】由题意，由三点共线可得，化简可得，又，当且仅当，即时等号成立.故选：B6一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B(
3、AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少. （）Akm/hBkm/hCkm/hDkm/h【答案】B【分析】根据平面向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【解析】如图所示：，设合速度为，小货船航行速度为，水流的速度为，则有所以有，故选：B.7在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的外接圆的面积为（）ABCD【答案】B【分析】根据二倍角公式将化简得到，利用余弦定理和正弦定理将化简可得，进而求出结果.【解析】因为，所以，所以，即，又，所以，所以，
4、所以.因为，由余弦定理得，即，又，所以，所以，由正弦定理得，所以.设的外接圆的半径为，所以，解得，所以的外接圆的面积为.故选：B.8如图，以为直径在正方形内部作半圆O，P为半圆上与A，B不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（）A无最大值，但有最小值B既有最大值，又有最小值C有最大值，但无最小值D既无最大值，又无最小值【答案】A【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法及模的坐标运算求得，再根据角的范围利用正弦函数的性质求解最值即可判断.【解析】设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系.则，（其中），所以，因为，所以，所以，故有最小值为0，无最大值.故选：A二、多选题9已知向量，则（）AB与向量
5、共线的单位向量是CD向量在向量上的投影向量是【答案】AC【分析】根据向量的坐标运算分别判断各选项.【解析】A选项，A选项正确；B选项，设与向量共线的单位向量，则，解得，或，故或，B选项错误；C选项，则，故，C选项正确；D选项，向量在向量上的投影向量是，D选项错误；故选：AC.10已知满足，则（）AB复平面内对应的点在第一象限CD的实部与虚部之积为【答案】ACD【分析】利用复数代数形式的运算法则进行运算，求出复数，逐一判断各选项是否正确.【解析】设，则由已知得，即，所以解得所以，则，故A项正确，B项错误；，的实部为，虚部为1，所以的实部与虚部之积为，故C，D项正确.故选：ACD11在中，角A，B
6、，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（）A若，则B若，则C若，则为锐角三角形D若，则为直角三角形【答案】AD【分析】选项A：大角对大边，然后根据正弦定理把边之间的关系转化为角的正弦之间的关系；选项B：在内，角的正弦相等，这两个角可能相等，也可能互补，由此可以得到角之间的关系；选项C：由余弦定理能得到为锐角，但一个角为锐角不一定是锐角三角形；选项D：利用正弦定理进行边化角，结合三角形内的隐含条件即可得到命题正确.【解析】选项A：因为，所以，由正弦定理，得，即.所以选项A正确；选项B：在中，因为，所以或，即或，所以选项B错误；选项C：因为，所以，所以为锐角，但不一定是锐角三角形，所以选
7、项C错误；选项D：因为，所以，即，又因为 ，所以，所以，即，所以为直角三角形，所以选项正确.故选：AD.三、填空题12已知，则 .【答案】0【解析】首先求出的坐标，而后可求.【解析】解：，.故答案为：0.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题.13中，则 【答案】 或【分析】根据题意，求得，得到，分为钝角和为锐角，两种情况讨论，结合两角和余弦公式，即可求解.【解析】因为，可得，可得，当为钝角时，且，可得；当为锐角时，且，可得.故答案为： 或.14已知，且，为虚数单位，则的最大值是 【答案】6【分析】利用复数模的几何意义求解.【解析】解：因为，且，表示以（0，1）为圆心，以1为半径
8、的圆上的点，而表示圆上的点（3，5）的距离，其最大值为，故答案为：6四、解答题15已知i是虚数单位，复数(1)若z为纯虚数，求实数a的值；(2)若z在复平面上对应的点在直线上，求复数z的模【答案】(1) (2)【分析】（1）利用复数的概念计算即可；（2）利用复数的几何意义计算即可.【解析】（1）是纯虚数，解得；（2）易知z在复平面上对应的点为，该点在直线上，得，即，得则16已知，(1)求；(2)当为何值时，与垂直？(3)求向量与的夹角的余弦值【答案】(1) (2) (3)【分析】（1）先求得，然后通过平方的方法求得.（2）根据向量垂直列方程，化简求得的值.（3）根据向量的夹角公式求得正确答案.
9、【解析】（1）依题意，所以.（2）若与垂直，则，解得.（3），设向量与的夹角为，则.17，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答已知ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若，_，(1)求B；(2)求的面积【答案】(1)条件选择见解析，；(2)或.【分析】（1）若选，利用二倍角公式及三角函数的性质计算即可；若选，利用正弦定理计算即可；若选，利用余弦定理计算即可；（2）利用正弦定理得C，分类讨论结合三角形面积公式计算即可.【解析】（1）若选，可得，可得：，因为，可得，可得，可得；若选，由正弦定理可得，因为，则，可得，即，因为，可得；若选，因为，可得，可得，因为，可得；（2）结
10、合（1）因为，利用正弦定理可得，所以，因为，所以或，当时，因为，所以，可得：，当时，则，又因为，所以，所以的面积为或.18已知的内角的对边分别为，(1)求角的大小；(2)若，求b+c的取值范围【答案】(1) (2)【分析】（1）利用正弦定理边化角可化简已知关系式求得，结合的范围可求得结果；（2）利用余弦定理和基本不等式可求得的范围.【解析】（1）由正弦定理得：，即，（2）由（1）得：，且，所以：，由于：，所以，即，所以：，又，则：，故的取值范围为19如图，分别是矩形的边和上的动点，且.（1）若都是中点，求.（2）若都是中点，是线段上的任意一点，求的最大值.（3）若，求的最小值.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）构建平面直角坐标系，写出对应点坐标，应用向量数量积的坐标运算求.（2）设，由求关于的坐标，应用向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求的最大值.（3）设，则，可得，再应用辅助角公式、三角恒等变换及余弦函数的性质求的最小值.【解析】（1）以点A为原点建系，得,，.（2）由（1）知，设，当时，最大值.（3）设，则，当且仅当时，等号成立，故最小值是.）股份有限公司
