第六章点的运动与刚体的基本运动［习题6-1］已知如图6-32所示，跨过滑轮C的绳子一端挂有重物B,另一端A被 人拉着沿水平方向运动，其速度为v°=1m/s,A点到地面的距离保持常量h = 1m滑轮离地面的高度H =9m，其半径忽略不计当运动开始时，重物在地面上B0处,绳AC段在铅直位置A0C处求重物B上升的运动方程和速度方程，以及重物B到达滑轮处所需的时间解：从图中可知，绳子的原长约为16m在任一瞬时,绳子的长度为：..82 (1 t)2 Jbc •即:82 t2 Ibc 16lBC =16- .82 t2B点的y坐标,即重物B上升的运动方程为：yB =8-Ibc =8 -16 64 t2 = 一64 t2 -8重物B上升的速度方程为：Vb_2t_2\64 t2_t_64 t2重物到达滑轮时，所走过的路程为 8m，即：.64 t2 -8 =8，解得:t -13.9s［习题6-2］半圆形凸轮以匀速v=10mm/s沿水平方向向左运动，活塞杆AB长l沿 铅直方向运动当运动开始时，活塞杆 A端在凸轮的最高点上如凸轮的半径R = 80mm，求活塞B的运动万程和速度万程T-—-解：活塞杆AB作竖向平动。
以凸轮圆心为坐标原点，铅垂向上方向为 x轴的正 向，则由图中的几何关系可知，任一时刻，B点的坐标，即活塞B的运动方程为：XbRcos = I R=1 . R2 - (vt)2 =1 、64-t2(cm)活塞B的速度方程为:Vbdt 2 64-t2 (cm/s).64-t2-t［习题6-3］已知杆OA与铅直线夹角 （「以rad计，t以s计），小环M套在6杆OA，CD上，如图所示铰 O至水平杆CD的距离h= 400mm求小环M的 速度方程与加速度方程，并求t =1s时小环M的速度及加速度解：以OA铅垂时小环M的位置为坐标原点，水平向右方向为 x轴的正向任 一瞬时，M的坐标，即运动方程为：—txM =hta n =400ta%(mm)小环M的速度方程为：dxM d 二t 2 二t 二 200二 2 二t200 sec2(-)(mm/ s) = 279(mm/s)IT F400tan評400sec (訐厂丁sec Fmm/s)VM (1) = 3 、3小环M加速度方程为：dvM d ,200兀 2 兀t、 200兀 d 2 瓚aM ( sec ) sec —dt dt 3 6 3 dt 6200 二c 兀t二 t兀2 sec—sec tan*—366662200二 2 二t 丄 二t/ / 2\sec tan (mm/s )9 6 6aM⑴200 二292 ， ， 2sec tan— =169(mm/s )6 6［习题6-4］点M以匀速率u在直管OA内运动，直管OA又按「二t规律绕O转 动。
当t =0时，M在O点，求其在任一瞬时的速度及加速度的大小解：r =ut，即=•爭t设任一瞬时，M点的坐标为M(x,y)，则点M的运动方程为:x 二 r cos 二 utcos t, y = rsin 二 utsin速度方程为:=ucos t - u tsin tdx d(utcos t)二 ucos t ut(-sin t) ■ dt dtvx? = u 2 2 2 2 2 2 23ay 4u cos t (u t) sin t -4u t si nt cos tcos2 t (u t)2 sin2 t —2u2 tsin t cos tVv =巴 =d (uts in t) = us in t ut cos t = usi nt u t cos t y dt dtVy2 二 u2 s i n t (u t)2 c o^s t 2u2 ts i nt c o st2 2 2 2Vx Vy u W t)任一瞬时，速度的大小为：V = 7； Vy2 = . U2 (u t)2 = u .. 1 ( t)2加速度方程为：dVxdt(ucos t - u t si nt) dt=u (—si n t) J： -[u s i n t u t c o st ■]2二-2u ■ s in t「u，t c o stax2 =4u2灼2 s i 斤联 +(u时21)2 c o&Jt +4u2灼a%2 ay2 =4u2 2 (u 2t)2任一瞬时，速度的大小为：a = ax2 ■ ay2 = 4u2 •2 (u ■ 2t)2 = u ■ . 4 ( t)2[习题6-5] —圆板在 Oxy平面内运动。
已知圆板 中心C的运动方 程为 Xc=3-4t，2t2， y^3 2t t2(其中 xc,yc 以 m 计，t 以 s计)板上一点 M 与C的距离I =0.4m，直线段CM与x轴的夹角，=2t2c：以rad计，t以s计)， 试求t -1s时M点的速度及加速度ts i nt c o(stdVy day (u si nt u t cos t)dt dt二 u c o s t 心亠[u，c o st u -t (「s i n t) ■■ ■2=2u ■ cos t - u ■ t si nt解：设M点的坐标为M(x,y)，贝U M点的坐标，即运动方程为:2 2x 二 xC l cos =3-4t 2t 0.4cos(2t )y = yC Isi n =3 2t t vx = -4 4t -1.6ts i i2t 0.4si n(2t2)速度方程：dx d 2 2 2vx [3 —4t 2t 0.4cos(2t )] - -4 4t 0.4( —sin2t ) 4tVx(1) =-4 4 -1.6sin(2180°3.14)--1.46(m/s)v -dy - -[3 2t t2 0.4sin(2t2)] =2 2t 0.4 cos2t2 4ty dt dtvy = 2 2t 1.6t cos2t2180Vy(1) = 2 2 1.6cos(2 ) =3.33(m/s)3.14t =1s时M点的速度为：v »1.46i 3.33j (m/s)加速度方程：dvxdtd 2 2 24t]葛(一4 ―心知蚀^ tcos2t2 2 2ax = 4-1.6sin2t -6.4t cos2tax(1) =4 -1.6sin(2 ^8^) -6.4cos(2 ^8^) = 5.215(m/s)3.14 3.14dv y d 2 2 2"FF2 2t「心2…2 何町 *sin2t) 4t]ay=2 1.6cos2t2 -6.4t2 sin2t2ay(1) =2 1.6cos(2 ^8^) —6.4sin(2 l8^) = -4.484(m/s)3.14 3.14t -1s时M点的加速度为：a =5・215i -4.484j[习题6-6] 一点作平面曲线运动,其速度方程为Vx=3 ,Vy =2二sin4「:t，其中—v以m/s计，t以s计。
已知在初瞬时该点在坐标原点，求该点的运动方程和轨迹 方程解:(1)求运动方程主"3dt dx 二 3dtx = 3dt = 3t G由边界条件t = 0 , x二0代入上式得：G =0，故 x =3tdy =2 - sin 4二t dtdt=2二 s i 4i：td(4 二 t) 14-d(4 ：t) 11 1 y s i4nt d(4：t) c o4st C2由边界条件t=0, x=0代入上式得：1 10 s i 4nt d(4 ：t) c o0s C22 21C2 =—，故21 11 一y c o4st (1-c o4st)，因此，该动点的运动方程为:2 2 2x = 3t ； y (1 -cos4 二 t)2)求动点的轨迹x 1由 x =3t 得 t = 一代入 y = —(1 -cos4二t) 得:3 2y =丄(1 -c o^sx)，这就是动点的轨迹方程2 3ax = -160 cos2t，[习题6-7] —动点之加速度在直角坐标轴上的投影为:ay 二-200sin 2t已知当 t =0时，x = 40，y = 50，vx = 0，vy = 100 (长度以 mm计，时间以s计)，试求其运动方程和轨迹方程。
解：(1)求运动方程--160 cos 2tdvx 二「160cos2t dtvx - -160 cos2t dt - -80 cos2t d(2t) - -80s i2n C1把当t = 0时，vx =0的边界条件代入上式得：G = 0，故 vx =「80s i2n鱼二 vx - -80sin 2tdtdx - -80sin 2t dt - -40s i 2n d (2t) x = 40 (_sin 2t) d(2t)二40c o2s C2把当t = 0时，x = 40的边界条件代入上式得：40 = 40 cos0 C2 , C2 = 0 , 故x = 40c o2SdVy ay - -200sin2t dtdVy - -200sin 2t dt - -100s i 2 d (2t)Vy =100 (-sin 2t) d(2t) =100c o2fe C3把当t=0时，Vy =100的边界条件代入上式得：C3=0，故vy =100c o2s史二 Vy =100cos2tdtdy = 100cos2t dt = 50 c o2ts d (2t)y = 50 cos2t d(2t)二 50s i 2t C4把当t=0时，y=50的边界条件代入上式得：C4=50，故y=50sin2t 50。
因此，该动点的运动方程为：x = 40c o2& y = 50sin 2t 502)求动点的轨迹方程2由 x =40cos2t 得： 一2 二 cos由 y=50sin 2t 50得： 乂 sin2 2t ……(b)50(a)+(b)得：厶(厂50)2 " 这就是动点的轨迹方程40 50 2t ……(a)402［习题6-8］点沿曲线AOB动动曲线由AO、OE两段圆弧组成，AO段曲率 半径Ri =18m , OB段曲率半径R^ 24m，取圆弧交接处O为原点，规定正方 向如图所示已知点的运动方程：s=3,4t-t2, t以s计，s以m计求：(1)令齐—0得t=2s ;当 5时，动点改变运动方向s(0) =3s(2) =3 4 2 -22 =7s(5) =3 4 5 -52 - -2点由 t = 0至t =2s所经过的路程 so,二 s(2)-s(0) =7 一3 = 4(m)点由t = 2至t =5s所经过的路程S2』=7 一(一2) =9(m)点由t = 0至t = 5s所经过的路程s0_^ = 4 9 = 13(m)(2)求t =5s时的加速度▼ = ^= 4- 2 = 0 dtdv 2、2。