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1、流体动力学基础B量纲分析和相似理论学习报告何苏文车辆工程 车辆 1006 班 0121007760413摘 要 实验研究是流体力学的重要组成部分。利用实验方法可以发现新的流动现象，揭示流动的内 在机理。通过实验可以解决很多复杂的流动问题。然而任何一项实验，都必须在理论指导下进行。本 章介绍的量纲分析的布金汉定理和各种相似准则，是流体力学实验的基础。工程流体力学中的实验主 要有两种：a、工程性的模型实验。目的在于预测即将建造的大型机械或水工结构上的流动情况；b、探索性的观察实验。目的在于寻找未知的流动规律，指导这些实验的理论基础就是相似原理 和量纲分析。关键词 量纲；相似原理；相似准则；0 前言
2、任何一项实验，都必须在理论的指导下进行。没有科学的理论作为指导，实验工作 就无法正确地开展，即使盲目地进行了实验，其结果也是没有任何价值的，本章介绍的 量纲分析的布金汉定理和各种相似准则，是流体力学实验的理论基础，只有正确地理解 和掌握这些基本理论，才能科学地策划各类实验，整理实验结果，并用这些结果去处理 和解决实际工程问题。1 相似原理和量纲分析1.1 量纲物理量的性质属性称为量纲。m、cm、km都具有相同的属性，这种属性称为长度 的量纲，记作L。类似地，质量的量纲记作M,时间的量纲记作T。每个物理量都有自 己的量纲。在各种量纲中，质量M、长度L、时间T等称为基本量纲。基本量纲具备两 个特征
3、。一个特征是，任何一个基本量纲都无法用其他的基本量纲的幂次式表达出来； 另一个特征是，任何物理量都可以用基本量纲的幂次式表达出来。对某种具体的物理量，其单位可以不同，但单位的属性（即量纲）确是相同的，比 如度量长度的大小时，所用的单位可以是米，厘米等，但是他们都属于长度，具有长度 的量纲。单位是人为规定的量度标准。物理量 A 的量纲 dimA MaLbTc不具量纲的量称为无量纲量，就是纯数，如圆周率n。1.2 基本量纲与导出量纲不能由其它量纲导出的量纲称为基本量纲。可通过基本量纲导出的，称为导出量纲。 为了应用方便，并同国际单位制相一致，普遍采用M -L-T-0 基本量纲系，即选 取质量M、长
4、度L、时间T、温度因为基本量纲。对于不可压缩流体运动，则选取M、L、 T 基本量纲，其他物理量量纲均为导出量纲。某一物理量q的量纲都可用3个基本量纲的指数乘积形式表示dim q = M a LP T y表 1 工程流体力学常见物理量的量纲和单位常用量速度，加速度dim v 二 LT-1dim g 二 LT-2体积流量，质量流量dim Q 二 L3T-idim m 二 MT-1密度，重度dim p 二 ML-3dim y 二 ML-T -2力，力矩dim F 二 MLT-2dim L 二 MLT-压强，压力，弹性模量dim p 二 dimT 二 dim K - ML-iT-2粘度系数dim 卩二
5、 ML-iT-1dim v 二 LT-1在dim q = M a LP T y中.若a = p =Y = 0，即dim q = M oT o Lo = 1则该物理量是无量 纲量，也就是纯数。无量纲量特点1. 客观性。2. 不受运动规模的影响。3. 可进行超越函数运算。2 量纲分析法2.1 布金汉定理 量纲分析法广泛应用于分析研究复杂物理现象中各种物理量的相互影响的一般规律。量纲分析法最重要的定理是布金汉定理，又称n定理。它通过对某一个物理现象中 各物理量的量纲的幂次分析，将若干物理量组合成为量纲一的特征数，解释各个物理量 的量纲关系，减少物理方程的变量数目，为理论分析和实验研究提供理论依据。若
6、某一物理过程包含n个物理量，即f 叫 q2，qn ) = 0其中有m个基本量(量纲独立，不能相互导出的物理量)，则该物理过程可由n个物理量 构成的(n-m)个无量纲项所表达的关系式来描述。即F(兀,兀，兀)二012n -1由于无量纲量用疗表示。n定理由此得名。2.2 布金汉定理的应用步骤n定理的应用步骤如下：(1) 找出物理过程有关的物理量f (q , q，q )二 012 n(2) 从 n 个物理量中选取 m 个基本量， 不可压缩流体运动， 一般取 m=3， 设 为所选基本量，由量纲公式dim = M %T Px L/1dim 2 = M a2T P2 L 2dim q = M a3T 卩
7、3 L 3333满足基本量星纲独立的条件3是量纲式中的指数行列式不等于零，即a1a2a3卩1卩2卩3Y1Y2Y3兀2qa2 qb2 qc2123n-3q1an-3q2bn-3q3cn-3对于不可压缩流体运动，通常选取速度v( q)、密度p (q2)、特征长度l (q )为基本量。3)(3) 基本量依次与其余物理组成n项123兀1qa1 qb1 qc112 3q5(4) 满足n为无量纲项，定出各n项的指数a、b、c。5)整理方程式。3 流动相似原理3.1 流动相似的三个条件流动相似原理研究模型流场和实物流场的流动相似问题。流动相似要求两个流场的同类型参数成正比例，具体地说就是要求模型流场和实物流
8、场满足几何相似、运动相似、 动力相似等三个条件。1）几何相似几何相似要求模型和实物的对应的几何尺寸成比例，比列系数，即2）运动相似运动相似指两个流动相应点速度方向相同，大小成比例。比列系数九，即vuv入二一p = - =入u u v vmm3）动力相似 动力相似要求模型流场和实物流场的对应点同名力，方向相同，大小成比例，比列系 数为尢=1 =1 =1 ，即T G P IT G PIp = p = p pT G PIm m m m在上述三种相似中，几何相似是必须满足的。几何尺寸不成比例的模型的实验数据是 没有任何价值的。动力相似是最重要的，在几何相似的前提下，只要满足动力相似，那 么运动相似就会
9、自然得到满足。3.2 动力相似1） 牛顿准则：F2匕严2 整理,P l 2U 222 2得一F-Pl 2u 21 1 1F2Pl2u 222 23.2.1 常见的动力相似准则或Ne = （常熟）牛顿相似准数Pl2u2这就是牛顿相似准则或惯性力相似准则。即两种流体系统动力相似，此准数相等，反之亦然。注：上述牛顿相似准则是所有力的合力所对应的情况，而力的种类也有很多，都满 足牛顿相似准数是非常困难的，但是在实际研究流体力学现象时往往只是某一种力起主 要作用，分析其主要作用的力，是指满足牛顿相似准数就形成以下准则。2）雷诺准则：在流动现象中起主要作用的是粘性力和惯性力时粘性力T = uA虫，其大小可
10、用T =卩lu表示，代入牛顿相似准数 dy得,也=lzur或也=Re 其中，v=V VvP12Re雷诺相似准则根据式子中的推导过程，雷诺相似准则就是粘性力与惯性力之比。3）弗劳德准则：若起主要作用的是重力和惯性力，重力可用P gl 3来衡量，将它代入牛u 2u 2I- = T g1l1g2l21 1 2 2顿相似准数，得：Fr =Fr弗劳德相似准数，也可用上述准则，称为弗劳德相似准则或重力相似准则。4）欧拉准则：若起主要作用的是总压力和惯性力，总压力可用 pl2 来衡量。代入牛顿相似准则，得斗=JPu2 Pu 21 1 2 2或Eu = 亠 式中，Eu欧拉相似准数Pu2这个准则称为欧拉相似准则
11、或压力相似准则。5）斯特劳哈尔准则：在研究不定常流动或脉动流时， Sr 数成为重要的量纲为1 的参数。Sr 数为当地惯性力与迁移惯性力之比上式中1为物体特征长度，如金属丝或圆柱的直径等，e为当地流体脉动圆频率。6）马赫准则：若在流动中，压缩性占主要地位，惯性力与弹性力之比的平方根，称为马赫相似准数（简称马赫数）式中， a流体中的音速，ua当Mvl时的流动称亚音速流动；M1时的流动称超音速流动。3.2.2 相似准则的选择 模型实验做到完全相似是比较困难的，一般只能达到近似相似。就是保证对流动起 主要作用的力相似，这就是模型的选择问题。以上准则中，雷诺准则、弗劳德准则和欧 拉准则运用较为广泛。在研
12、究气流速度很大，接近或超过音速时，则要考虑满足马赫准 则。当流动规模较小，表面张力作用显著时，则要满足韦伯准则。一般模型试验中，当 水流表面流速大于0.23m/s，水深大于1.5c m时，表面张力作用可忽略不计。所以，对于 不可压缩流体恒定流，一般只要同时满足雷诺、弗劳德和欧拉三个准则即可实现动力相 似，也就是要求两个流动相应点上质点所受到的粘性力、重力、流体动压力与惯性力所 构成的封闭的力多边形相似。如有压管流、潜体统流，粘滞力起主要作用，应按雷诺准则设计模型；堰顶溢流、 闸孔出流、明渠流动等，重力起主要作用，应按弗劳德准则设计模型。4 本章学习小结 量纲分析法是用于寻求一定物理过程中相关物
13、理量之间规律性联系的一种方法。它 对于正确地分析、科学地表达物理过程是非常必要的。相似理论研究相似现象之间的联系，是模型试验的理论基础。在两个相似现象中对 应的无量纲量是相同的。不可压缩粘性流体运动四个相似准数是：雷诺数表征位变惯性力与粘性力之比； 弗劳德数表征位变惯性力与重力之比；斯特劳哈尔数表征位变惯性力与时变惯性力 之比；欧拉数表征压差力与位变惯性力之比。根据相似理论，必须保证在流动相似的条件下进行实验，在实验中应该测量实验结 果无量纲表达式包含的所有物理量。实验结果应整理成以相似准数和其它无量纲量来表 示的函数关系式或绘制成曲线。实验结果只能应用于相似现象之间。严格地要求所有相似准数都相同往往难以做到，工程上通常抓主要矛盾，进行模型 设计，保证起决定作用的那个相似准数相等，称为部分相似。参考文献1 莫乃榕.工程流体力学M.武汉：华中科技大学出版社,2009: 259-2702 江宏俊.流体力学M.北京：高等教育出版社，1987： 陈卓如.工程流体力学M.北京：高等教育出版社，2004：4 丁祖荣.流体力学M.北京：高等就出版社，2003;
