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1、备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题08 分类讨论思想在二次函数最值中的应用（解析版）专业文档 【高考地位】 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，它在人类的思维发展中起着重要的作用. 分类讨论思想实际上是一种化整为零、化繁为简、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的运用. 二次函数在闭区间上最值问题在高考各省市的考题中经常出现，由于二次函数分类讨论参变量取不同的值时，可引起函数性质的变化，因此研究二次函数在区间上的最值问题常见处理方法是有必要的. 【方法点评】 类型 求二次函数最值问题 使用情景:二次函数在区间上的最值问题 解题模板:第一步 通过观察函数的特征，分析二次函
2、数的表达式中是否具有参数，且参数的位置在什么 位置; 第二步 通过讨论二次函数的对称轴和已知区间之间的关系进行分类讨论; 第三步 根据二次函数的图像与性质可判断函数在区间上的单调性，并根据函数的单调性求出 其最值; 第四步 得出结论. 例1已知函数是二次函数，且满足， yfx,()f(0)3,ff(1)(3)0,(1)求的解析式; yfx,()(2)若，试将的最大值表示成关于t的函数( xtt,，,2yfx,()gt()2,，,ttt23(1),2)【答案】(1;(2)( fxxx()23,，gtt()4(11),2,，,ttt23(1),【解析】 珍贵文档 专业文档 试题解析: fxaxx(
3、)(1)(3),，,(1)由题可设，f(0)3,又，得a,1，2 fxxx()23,，得 (2)由(1)知，的对称轴为， x,1yfx,()02若，则在上是减函数，8分 t,1yfttt,，()23yfx,(),2tt，max若，即，则在上是增函数， t，,21t,1yfx,(),2tt，2 yfttt,，,，(2)23max若tt,，12，即,11t，则 yf,(1)4max2,，,ttt23(1),故 。 gtt()4(11),2,，,ttt23(1),考点:二次函数的解析式，二次函数的最值( 【名师点睛】(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不
4、论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论;(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解( 2例2 已知函数，若函数的最小值是fxaxbxcabRcR(=(0,)，,fx()fxx()(0),x,1gx(),且对称轴是，( ff(1)0,(0)1,fxx()(0),(1)求的值; gg(2)(2)，,tt,2，(2)在(1)条件下求在区间 的最小值( fx()()tR,2t，1【答案】(1)8;(2)( ，珍贵文档 专业文档 【解析】 ,abc,，,0a,1f(1)0,？c,1c,1 试题解析:(1)， f(0
5、)1,ba,2b,2b,x,12a,2fxx()(1),，？ 2,(1)(0)xx，,gg(2)(2)8，,？ gx,，,2,，,(1)(0)xx,t，,21t,3(2)当时，即时 2tt,2，fxx()(1),，,在区间上单调递减 2fxftt()(2)(3),，,，min tt,，12,31t当时，即时 22t,1,，1,2tfxx()(1),，fxx()(1),，,在区间上单调递减，在区间上单调fxf()(1)0,min递增 22tt,2，fxx()(1),，fxftt()()(1),，,t,1min当时在区间上单调递增，。 考点:1、待定系数法求解二次函数的解析式;2、二次函数求最值;
6、3、利用分类讨论求解函数的最值( 珍贵文档 专业文档 2【变式演练1】已知函数， fxxax()21,，,1,2,1,2(1)求在区间的最小值;(2)求在区间的值域 fx()ga()fx(),22,1,aa,2gaaa,，,1,12a,1,12a【答案】(1)(2)当时值域为2-2a，5+2a，当，,52,2，,aa,2，a,2时值域为，当时值域为5+2a，2-2a. ,，aa1,52，【解析】 试题分析:(1)先配方，再分类讨论，即可求f(x)在区间-1，2的最小值g(a);(2)分类讨论，求出f(x)在区间-1，2的最大值，最小值，即可求f(x)在区间-1，2的值域 222fxxaxxaa
7、()211,，,，,，试题解析:(1)( ，2,，a1?a,-1时，g(a)=2-2a;-1?a?2时，g(a)= ;a,2时，g(a)=5+2a， 22,1,aa,2？,，,gaaa1,12 ，,52,2，,aa,珍贵文档 专业文档 考点:二次函数的性质. 【点评】本题在求二次函数的最值时，用到了分类讨论思想，求解中对系数a的符号进行讨论.在分类讨论时要遵循分类的原则:一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论. 2【变式演练2】设函数( fxxaxbabR(),，,(1)当时，记函数在0，4上的最大值为，求的最小值; a,2|()|f
8、xgb()gb()(2)存在实数a，使得当时，恒成立，求的最大值及此时a的值( bxb,0,2()6,fx9【答案】(1);(2)a,2 2【解析】 2a,2试题分析:(1)当x,1，,对称轴为(所以的最大值fxxxb()2,，fx()0|1|,|1|8|bbb,，,gbff()max|(1)(4)|,|,|，即可得到的最小值(2)显gb(),|8|,|1|8|bbb，,，,2aaaaa2,b,0然(然后再对0，,b和0,b进行分类讨论，fxxb(),，,22224,借助函数的单调性即可求出结果( 2a,2x,1试题解析:(1)当，,对称轴为( fxxxb()2,，0|1|,|1|8|bbb,
9、，,gbff()max|(1)(4)|,|,|所以的最大值( fx(),|8|,|1|8|bbb，,，,9所以的最小值为( gb()2珍贵文档 专业文档 ,fb06,?，,2,aaa,?当时，只需满足由?，?得(由26,b0,bfb,2，?,224,22,aa,fbbb,，,6，?，,24,2aaaa,?，?得，又，?，即，再结合?得0,b02,b02,bb-+26,2222,2a22， ()2bb,4a23,bb,3a,2?(当时，由?得，此时满足?，?，?及0,b( 2b3a,2综上所述，的最大值为，此时( 考点:1(二次函数的性质;2(函数的单调性;3(分类讨论思想( 2abca,0【变
10、式演练3】记函数(，均为常数，且)( fxaxbxc(),，a,1b,c(1)若，fb,fc()，求f2的值; c,ab,1，(2)若，时，函数y,fx在区间上的最大值为，求( 1,2ga()ga()1,3a，2,a,且a,0,4,111,，ga,a,a,【答案】(1)4 (2) ,4a24,1,1,a,2,珍贵文档 专业文档 【解析】 试题分析:(1)将已知条件代入可得到关于的方程，从而求得函数解析式，fb,fcbc,211,得到函数值;(2)结合已知条件将函数式化简，通过对参数afxaxa(),，,24aa,范围的讨论确定函数在区间上的单调性，从而求得最大值。 1,2(2)当，c,a时，
11、b,1211,2， fxaxxaaxa(),，,，,x,1,2,24aa,1a,0?当时，时， x,12a在区间上单调递增， ，,fx1,2，fx,f2,3a，2所以; maxa,0?当时， 11,2,a,0?(若，即时， 2a4，,fx在区间1,2上单调递增， ，fx,f2,3a，2所以; max11a,1?(若，即时， 22a，,fx1,2在区间上单调递减， ，fx,f1,1所以; max珍贵文档 专业文档 考点:1(求函数解析式与函数求值;2(二次函数单调性与最值;3(分情况讨论. 2【变式演练4】已知二次函数的图象过点，且函数yfxxbxc,，()(1,13)1是偶函数( fx(),y
12、,2(1)求的解析式; fx()2，gx,fx,x,13,xt,2(2)已知,，求函数在上的最大值和最小值; ，gxt,2(3)函数的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平yfx,()方数,如果存在，求出这样的点的坐标;如果不存在，请说明理由( ,2ttt,2,12，,2yfx,Htt,1,121【答案】(1);(2) ;(3)函数fxxx()11,，,，,2,，,ttt2,12，,10,121的图象上存在符合要求的点，它的坐标为( ，【解析】 1fx(),试题分析:(1)函数是偶函数,可知其对称轴为轴(由图像平移可知函数y,y21fxfxbax,的对称轴为,从而可得的值
13、(根据函数图像过点可得的(1,13)，2gx值(2)由(?)可得的解析式(结合函数图像可得函数最值(3)假设存在(设为，222mnmmn，,11，其中为正整数，为自然数，则(变形可得Pmn,，珍贵文档 专业文档 2mmn，,111,根据mm，1为大于0的偶数,可得的范围,可逐个代入验证( n，12试题解析:解:(?) ? 的对称轴方程为，? ( b,1x,fxxbxc(),，22又的图象过点，? ，? ( 113，,bcc,11fxxbxc(),，(1,13)2? 的解析式为 fxxx()11,，fx()2yfx,m(?)如果函数的图象上存在符合要求的点，设为，其中为正整数， Pmn,，22n
14、mmn，,11为自然数，则， 2242143nm,，,(法一)从而， 即 ( 22122143nmnm，,，,，221221nmnm，,，2210nm，,注意到43是质数，且，又， ，22143nm，,，m,10,所以只有 ， 解得:( ,n,112211nm,，,，,yfx,10,121因此，函数的图象上存在符合要求的点，它的坐标为 ，珍贵文档 专业文档 2(法二)从而mmn，,1110的偶数，? 的奇数 n,4，? 取验证得，当时符合 nm,1110n,5,7,9,11？yfx,10,121因此，函数的图象上存在符合要求的点，它的坐标为( ，考点:1函数的奇偶性,最值;2推理论证能力( 【高考再现】 21. 【2016高考浙江文数】已知函数f(x)=x+bx，则“b0”是“f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也
