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1、-二次函数与圆的综合52012如图1，抛物线y=a*2+b*+3与*轴相交于点A3，0，B1，0，与y轴相交于点C，O1为ABC的外接圆，交抛物线于另一点D1求抛物线的解析式；2求cosCAB的值和O1的半径；3如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，假设点N在坐标平面内，满足BMNBPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标考点：二次函数综合题分析：1利用待定系数法求出抛物线的解析式；2如答图1所示，由AOC为等腰直角三角形，确定CAB=45，从而求出其三角函数值；由圆周角定理，确定BO1C为等腰直角三角形，从而求出半径的长度；3如答图2所示，首先利用圆及抛物线的对称性
2、求出点D坐标，进而求出点M的坐标和线段BM的长度；点B、P、C的坐标，求出线段BP、BC、PC的长度；然后利用BMNBPC相似三角形比例线段关系，求出线段BN和MN的长度；最后利用两点间的距离公式，列出方程组，求出点N的坐标解答：解：1抛物线y=a*2+b*+3与*轴相交于点A3，0，B1，0，解得a=1，b=4，抛物线的解析式为：y=*2+4*+32由1知，抛物线解析式为：y=*2+4*+3，令*=0，得y=3，C0，3，OC=OA=3，则AOC为等腰直角三角形，CAB=45，cosCAB=在RtBOC中，由勾股定理得：BC=如答图1所示，连接O1B、O1C，由圆周角定理得：BO1C=2BA
3、C=90，BO1C为等腰直角三角形，O1的半径O1B=BC=3抛物线y=*2+4*+3=*+221，顶点P坐标为2，1，对称轴为*=2又A3，0，B1，0，可知点A、B关于对称轴*=2对称如答图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C0，3关于对称轴对称，D4，3又点M为BD中点，B1，0，M，BM=；在BPC中，B1，0，P2，1，C0，3，由两点间的距离公式得：BP=，BC=，PC=BMNBPC，即，解得：BN=，MN=设N*，y，由两点间的距离公式可得：，解之得，点N的坐标为，或，点评：此题综合考察了二次函数的图象与性质、待定系数法、圆的性质、相似三角形、勾股定理、两点间的距离公式等
4、重要知识点，涉及的考点较多，试题难度较大难点在于第3问，需要认真分析题意，确定符合条件的点N有两个，并画出草图；然后寻找线段之间的数量关系，最终正确求得点N的坐标62011抛物线y=a*2+b*+3a0经过A3，0，B4，1两点，且与y轴交于点C1求抛物线y=a*2+b*+3a0的函数关系式及点C的坐标；2如图1，连接AB，在题1中的抛物线上是否存在点P，使PAB是以AB为直角边的直角三角形.假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由；3如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点不与A、C重合经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标考点：二次函数综合
5、题分析：1根据A3，0，B4，1两点利用待定系数法求二次函数解析式；2从当PAB是以AB为直角边的直角三角形，且PAB=90与当PAB是以AB为直角边的直角三角形，且PBA=90，分别求出符合要求的答案；3根据当OEAB时，FEO面积最小，得出OM=ME，求出即可解答：解：1抛物线y=a*2+b*+3a0经过A3，0，B4，1两点，解得：，y=*2*+3；点C的坐标为：0，3；2假设存在，分两种情况：当PAB是以AB为直角边的直角三角形，且PAB=90，如图1，过点B作BM*轴于点M，A3，0，B4，1，AM=BM=1，BAM=45，DAO=45，AO=DO，A点坐标为3，0，D点的坐标为：0
6、，3，直线AD解析式为：y=k*+b，将A，D分别代入得：0=3k+b，b=3，k=1，y=*+3，y=*2*+3=*+3，* 23*=0，解得：*=0或3，y=3，y=0不合题意舍去，P点坐标为0，3，点P、C、D重合，当PAB是以AB为直角边的直角三角形，且PBA=90，如图2，过点B作BFy轴于点F，由1得，FB=4，FBA=45，DBF=45，DF=4，D点坐标为：0，5，B点坐标为：4，1，直线BD解析式为：y=k*+b，将B，D分别代入得：1=4k+b，b=5，k=1，y=*+5，y=*2*+3=*+5，*23*4=0，解得：*1=1，*2=4舍，y=6，P点坐标为1，6，点P的坐
7、标为：1，6，0，3；3如图3：作EMAO于M，直线AB的解析式为：y=*3，tanOAC=1，OAC=45，OAC=OAF=45，ACAF，SFEO=OEOF，OE最小时SFEO最小，OEAC时OE最小，ACAFOEAFEOM=45，MO=EM，E在直线CA上，E点坐标为*，*+3，*=*+3，解得：*=，E点坐标为，点评：此题主要考察了二次函数的综合应用以及待定系数法求函数解析式，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这局部考察的重点也是难点同学们应重点掌握72011*如图，在平面直角坐标系*oy中，AB在*轴上，AB=10，以AB为直径的O与y轴正半轴交于点C，连接
8、BC，ACCD是O的切线，AD丄CD于点D，tanCAD=，抛物线y=a*2+b*+c过A，B，C三点1求证：CAD=CAB；2求抛物线的解析式；判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；3在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形.假设存在，直接写出点P的坐标不写求解过程；假设不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：1连接OC，由CD是O的切线，可得OCCD，则可证得OCAD，又由OA=OC，则可证得CAD=CAB；2首先证得CAOBCO，根据相似三角形的对应边成比例，可得OC2=OAOB，又由tanCAO=tanCAD=，则可求得CO，AO，BO的长，然后利用待定系数法
9、即可求得二次函数的解析式；首先证得FOCFAD，由相似三角形的对应边成比例，即可得到F的坐标，求得直线DC的解析式，然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案；3根据题意分别从PABC与PBAC去分析求解即可求得答案，小心不要漏解解答：1证明：连接OC，CD是O的切线，OCCD，ADCD，OCAD，OCA=CAD，OA=OC，CAB=OCA，CAD=CAB；2解：AB是O的直径，ACB=90，OCAB，CAB=OCB，CAOBCO，即OC2=OAOB，tanCAO=tanCAD=，AO=2CO，又AB=10，OC2=2CO102CO，CO0，CO=4，AO=8，BO=2，A8，0，B2，0，C
10、0，4，抛物线y=a*2+b*+c过点A，B，C三点，c=4，由题意得：，解得：，抛物线的解析式为：y=*2*+4；设直线DC交*轴于点F，AOCADC，AD=AO=8，OCAD，FOCFAD，8BF+5=5BF+10，BF=，F，0；设直线DC的解析式为y=k*+m，则，解得：，直线DC的解析式为y=*+4，由y=*2*+4=*+32+得顶点E的坐标为3，将E3，代入直线DC的解析式y=*+4中，右边=3+4=左边，抛物线顶点E在直线CD上；3存在，P110，6，P210，36A8，0，C0，4，过A、C两点的直线解析式为y=*+4，设过点B且与直线AC平行的直线解析式为：y=*+b，把B2
11、，0代入得b=1，直线PB的解析式为y=*1，解得，舍去，P110，6求P2的方法应为过点A作与BC平行的直线，可求出BC解析式，进而求出与之平行的直线的解析式，与求P1同法，可求出*1=8，y1=0舍去；*2=10，y2=36P2的坐标10，36点评：此题考察了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与性质，点与函数的关系，直角梯形等知识此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用82011潍坊如图，y关于*的二次函数y=*+m*3m图象的顶点为M，图象交*轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点以AB为直径作圆，圆心为C定点E的坐标为3，0，连接EDm01写出A、B、D三
12、点的坐标；2当m为何值时M点在直线ED上.判定此时直线与圆的位置关系；3当m变化时，用m表示AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图考点：二次函数综合题专题：压轴题；分类讨论分析：1根据*轴，y轴上点的坐标特征代入即可求出A、B、D三点的坐标；2待定系数法先求出直线ED的解析式，再根据切线的判定得出直线与圆的位置关系；3分当0m3时，当m3时两种情况讨论求得关于m的函数解答：解：1令y=0，则*+m*3m=0，解得*1=m，*2=3m；令*=0，则y=0+m03m=m故Am，0，B3m，0，D0，m2设直线ED的解析式为y=k*+b，将E3，0，D0，m代入得：解得，k=，b=m直线ED的解析式为y=m*+m将y=*+m*3m化为顶点式：y=*m2+m顶点M的坐标为m，m代入y=m*+m得：m2=mm0，m=1所以，当m=1时，M点在直线DE上连接CD，C为AB中点，C点坐标为Cm，0OD=，OC=1，CD=2，D点在圆上又OE=3，DE2=OD2+OE2=12，EC2=16，CD2=4，CD2+DE2=EC2EDC=90直线ED与C相切3当0m3时，SAED=AEOD=m3mS=m2+m当m3时，SAED=AEOD=m
