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1、惠州市2013届高三第一次模拟考试数学试题(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分。考试用时120分钟。注意事项:1答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分在每小题给出
2、的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知,则( )A B C D2. 已知复数 (为虚数单位),则复数在复平面上所对应的点位于( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为则抛物线的方程是( ) A. B. C. D. 4.如图是某简单组合体的三视图,则该组合体的体积为( ) A. B. C. D. 5.已知向量,则( )A B C D6.设随机变量服从正态分布,若,则( )A B C D7.已知函数的零点为, 则所在区间为( ) A.B. C. D. 8设为曲线:上的点,且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为,则点横坐标的取值范围为 ( )AB C
3、 D 二填空题:本大题共7小题,每小题5分,满分30分(一)必做题:第9、10、11、12、13题为必做题,每道试题考生都必须作答9在等差数列中,有,则此数列的前13项之和为 . 10展开式中,常数项是 . 开始否是输出结束11执行如图的程序框图,那么输出的值是 .12.已知集合=直线,=平面, 若,给出下列四个命题: 其中所有正确命题的序号是 .13设变量x,y满足约束条件,则目标函数的最小值为 .(二)选做题:第14、15题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题的得分14(坐标系与参数方程选做题)若直线的极坐标方程为,曲线:上的点到直线的距离为,则的最大值为 .15.(几何证
4、明选讲选做题) 如图圆的直径,是的延长线上一点,过点 作圆的切线,切点为,连接,若,则 . 三、解答题: 本大题共6小题,共80分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤16.(本小题满分12分) 已知 ,(,其中)的周期为,且图像上一个最低点为(1)求的解析式;(2)当时,求的值域17(本小题满分12分) 在某校高三学生的数学校本课程选课过程中,规定每位同学只能选一个科目。已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙,情况如下表:科目甲科目乙总计第一小组156第二小组246总计3912现从第一小组、第二小组中各任选2人分析选课情况.(1)求选出的4 人均选科目乙的概率;(2)设为选
5、出的4个人中选科目甲的人数,求的分布列和数学期望(本小题满分分)如图, 中,侧棱与底面垂直, ,点分别为和的中点. (1)证明: ;(2)求二面角的正弦值.19(本小题满分14分)xyOPQ已知中心在原点,焦点在x轴上,离心率为的椭圆过点(,)(1)求椭圆的方程;(2)设不过原点的直线与该椭圆交于、两点,满足直线,的斜率依次成等比数列,求面积的取值范围20(本小题满分14分)已知函数(为常数,),且数列是首项为,公差为的等差数列. (1) 若,当时,求数列的前项和;(2)设,如果中的每一项恒小于它后面的项,求的取值范围.21(本小题满分14分)已知函数在处的切线方程为.(1)求函数的解析式;(
6、2)若关于的方程恰有两个不同的实根,求实数的值;(3)数列满足,求的整数部分.惠州市2013届高三第一次模拟考试数学(理科)答案一、选择题本大题共8小题,每小题5分,满分40分题号l2345678答案CBABCDDA二、填空题;本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.9. 52 10. 60 12. 13-4 14 15. 1.【解析】因为=;,故选.2.【解析】因为,所以对应的点在复平面的第二象限. 故选3. 【解析】抛物线的准线方程为,抛物线的开口向右.设抛物线的标准方程为y则其准线方程为 解得 抛物线的标准方程为y.故选.4.【解析】由三视图可知几何体是由截面相同的半个圆
7、锥与半个三棱锥组合而成的。圆椎底面半径为,椎体底面边长为,高为故选5.【解析】向量,因为,故选6.【解析】因为服从正态分布,故选.7.【解析】因为.故选.8.【解析】设,倾斜角为,,,故选 .9【解析】等差数列中,有, ,故此数列的前13项之和为.10【解析】 ,故时,.11.【解析】由框图可知:, 周期为,,故输出的值是.12【解析】由题意知:可以是直线,也可以是平面,当表示平面时,都不对,故选正确.13.【解析】做出不等式对应的可行域如图,由得,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最大,而此时最小为.14.【解析】直线的直角坐标方程为,曲线C的方程为,为圆;的最大值为圆心到直线的距离加半径
8、,即为15.【解析】连接,设,则,三角形中,所以,所以,而,故三、解答题: 本大题共6小题,共80分16. (本小题满分12分)解:(1)由的周期为,知,则有;.1分所以因为函数图像有一个最低点,所以 且 , 3分则有 4分解得, 因为,所以 .6分所以 7分(2)当时, 8分 则有,所以11分即的值域为。 12分17. (本小题满分12分)解:(1)设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件,“从第二小组选出的2人选科目乙”为事件.由于事 件、相互独立, 且, .4分所以选出的4人均选科目乙的概率为 6分(2)设可能的取值为0,1,2,3.得 , ,, 9分的分布列为 的数学期望 12分18.
9、 (本小题满分14分)(本小题主要考查空间线面关系、空间向量等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)解 :(1)证法一: 连接 1分由题意知,点分别为和的中点,. 3分又平面,平面, 5分平面. 6分证法二:取中点,连,而 分别为与的中点,2分, , 同理可证 4分又 平面/平面. 5分平面,平面. 6分证法三(向量法): 以点为坐标原点,分别以直线为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,如图所示.于是,向量是平面的一个法向量 2分, 4分又 5分平面. 6分(2)解法一: 以点为坐标原点,分别以直线为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,如图所示
10、.于是, 8分由(1)知是平面的一个法向量, . 10分设平面的法向量为, 12分设向量和向量的夹角为,则 13分二面角的的正弦值为 14分解法二(几何法):如图,将几何体补形成一个正方体,连交于点,连,显然,都在同一平面上. 7分易证,平面,平面,又平面.取中点,连,分别是的中点,平面, 9分且为垂足,即平面,过点作于,过作交于,连,则即是所求二面角的补角. 11分在中, ,在中,,又在中, 12分. 13分所求二面角的正弦值为 14分19(本小题满分14分)解:(1)由题意可设椭圆方程为,1分则,3分 , 解的,5分所以,椭圆方程为 6分(2)由题意可知,直线的斜率存在且不为0,故可设直线
11、的方程为,7分由 消去得,8分则,且,9分故因为直线,的斜率依次成等比数列,所以,即,10分又,所以,即11分由于直线,的斜率存在,且0,得且设为点到直线的距离,则,12分所以的取值范围为 14分20. (本小题满分1分)(1) 证:由题意,即, 1分. 2分,当时,. 3分, 4分,得 6分 7分 (2) 解:由(1)知,要使对一切成立,即对一切成立. 8分,对一切恒成立,只需,10分单调递增,当时,. 12分,且, . 13分综上所述,存在实数满足条件. 14分21(本小题满分14分)解: (1) ,1分依题设,有,即,2分解得3分 4分(2)方程,即,得, 5分记,则. 6分令,得 7分当变化时,、的变化情况如下表:当时,F(x)取极小值;当时,F(x)取极大值8分作出直线和函数的大致图象,可知当或时,它们有两个不同的交点,因此方程恰有两个不同的实根, 9分(3) ,得,又。,