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1、摘要本文基于11阶天线伺服系统模型，并对其进行降阶。用平衡实现方法降至3阶的模型，对降阶后的模型分别设计PID、超前-滞后控制器，并分析控制器参数对闭环系统的影响。运用极点配置、LQR以及方法设计状态反馈控制器和运用LQR方法设计输出反馈控制器，然后结合内膜原理，使设计后的闭环系统能够在有参数扰动或者常数扰动下，能够实现对阶跃信号无静差地跟踪，基于3阶模型的闭环系统的阶跃响应的过渡时间在4s以内，并给出了相应的对应仿真结果。然后用设计好的控制系统去控制11阶模型，使要求基于11阶模型的闭环系统其阶跃响应的过渡过程的时间在6s以内。关键词：天线伺服系统 PID 超前-滞后 极点配置 LQR H
2、内膜原理 第一章 基于平衡实现的系统降阶1.1平衡实现的原理一个模型的实现有无穷多种，其中阶次最小的实现被称为最小实现。定理：实现是最小实现的充要条件是该实现是能控能观的。定理：所有的传递函数 的所有最小实现均代数等价。定理：若 是同一个传递函数的两个能控能观实现。 分别为上述实现的能控Gramian矩阵和能观Gramian矩阵，则相似并且所有特征根均为正数。定理： 若为一任意一最小实现，其Hankel奇异值为，则存在一个实现满足，该实现称为平衡实现。1.2平衡实现的系统降阶过程由上平衡实现的Hankel奇异值，若 并且 且对应的平衡实现为：则我们可以把系统降阶为：本次设计六十五米大口径天线伺
3、服系统的模型如下：由于Matlab里有求平衡实现的函数balreal,故可以直接调用，求出平衡实现。再选取前三阶实现即可。又由于Matalb求平衡实现的降阶函数balred，故也可以使用balred进行降阶。对于该11阶天线伺服系统模型，其分别使用二种降阶方法所得3阶模型对应波特图如下图1-1所示：图1-1 原系统伯德图及分别使用balreal，balred降阶后3阶模型伯德图 由上图可以看出很明显使用方法1 balreal得到平衡实现再去选取状态空间前三个状态所得模型拟合程度更高。故本文选用该方法将该11阶天线伺服系统模型降为3阶，并画出降阶前后系统的伯德图和阶跃响应。1.3不同频段分析 由
4、方法一所得三阶模型状态方程如下：其对应传递函数为: .使用1-1中MATLAB程序画出伯德图如下图1-2：图1-2 11阶及3阶系统模型波特图 由上图及margin函数可知11阶天线伺服系统的伯德图可知系统各参数：Gm = 12.3 dB (at 4.36 rad/sec), Pm = 70.3 deg (at 1.02 rad/sec)即系统的截止频率为 ，相角裕度为 ，幅值裕度为12.3 。将其降阶到3阶后伯德图各参数：Gm = 9.56 dB (at 4.36 rad/sec), Pm = 74.2 deg (at 1.03 rad/sec)即3阶系统的截止频率为，相角裕度为 ，幅值裕度
5、为9.56。故降阶前后系统的截止频率基本不变，相角裕度稍有增大，幅值裕度稍有减小。故由平衡实现所得3阶系统基本可以拟合原11阶天线伺服系统模型。由于降阶前后3阶系统和11阶系统相角裕度都很大，故系统的稳定性比较好。但截止频率均比较小，故实时性比较差，即系统调节时间较长。系统低频段斜率为0，为0型系统，对于阶跃响应存在稳态误差。故可以通过设计控制器来改善系统性能。由图1-2可知降阶后的3阶模型伯德图在低频段和中频段可以很好的拟合原11阶天线伺服系统。在高频段和原系统模型有一定误差。1.3.1低频段上误差分析由于系统的稳态误差取决于静态误差系数，由低频段对数幅频特性曲线的斜率可以确定开环系统的类别
6、从而获得系统对于各种响应比如阶跃响应的稳态误差。由于降阶模型和原系统模型低频段拟合程度最高，故基于降阶模型设计的控制器对于低频段的设置可以很好的用于原系统11阶模型。而由图1.2可以看出伯德图低频段斜率为0，即该系统为0型系统，故系统的静态位置误差系数为 ，即对于单位阶跃响应存在稳态误差。1.3.2 中频段上误差分析通常将截止频率 附近的频段称为中频段，一般为30dB到-15dB之间的频段。根据截止频率的的定义，一般越大，系统的快速性越好，但对于确定的开环传递函数，截止频率与稳定裕度密切相关，通常不能单独调整。因此闭环系统的瞬态响应的好坏主要依赖于伯德图的中频段所确定的稳定裕度。由于降阶模型和
7、原系统模型中频段的拟合程度也很好，故基于降阶模型设计的控制器对于中频段的设置也可以比较好的用于原系统11阶模型。1.3.3 高频段上误差分析在中频段之后就是高频段。由于时间常数较大的环节在开环对数频率特性中频段作用突出，故高频段对数幅频特性一般取决于小时间常数环节。又因小时间常数环节的转折频率均远离截止频率，所以可以忽略其对稳定裕度指标的作用。伯德图的高频段特性主要是影响系统的抗高频干扰的能力，也是高频段对系统性能的实际影响所在。并且高频段分贝值越小，抑制高频信号衰减作用越大，系统抗高频干扰的能力就越强。故虽然降阶后3阶系统模型伯德图高频段与原11阶模型有一定误差，但是从图中可以看出11阶系统
8、模型高频段分贝比降阶后3阶系统模型高频段分贝更低。故原11阶模型比降阶模型的抗扰能力更强。但11阶系统有一振荡环节，出现一凸起，对设计的控制器作用效果可能会有比较大的影响。1.4 降阶模型对控制器设计影响降阶系统模型和原系统阶跃响应如下图1-3所示。图1-3 降阶前后系统阶跃响应由上图可知，对于原11阶系统和降阶得到的3阶系统其阶跃响应曲线基本重合，故降阶模型对于原系统模型拟合程度较高。从阶跃响应曲线可以看出，降阶前后系统均可以稳定，但调节时间太长，并且稳态误差太大，符合上面对于降阶前后系统模型伯德图分析。将原11阶系统和降阶得到的3阶系统分别加入一个单位负反馈，此时系统阶跃响应如下：图1-4
9、 降阶前后系统模型加入单位负反馈阶跃响应由上图可知加入单位负反馈后系统可以实现无静差，输入可以跟踪输入，但是系统性能比较差，因为根据阶跃响应调节时间接近4秒而且曲线形状不好，所以需要加入控制器，使系统响应达到要求。1.5 本章小结 在第一章中，我们主要通过平衡实现来对系统降阶，从而将对11阶原系统的研究转化成对降阶后3阶系统研究，并对3阶系统伯德图和11阶原系统伯德图加以分析。经检验，我们通过平衡实现得到的3阶系统模型可以比较好的拟合原11阶系统，可用于设计控制器。第二章 基于PID控制器设计与分析2.1 PID控制的基本概念PID（比例积分微分）控制器最为最早实用的控制器已有70多年历史，现
10、在仍然是应用最广泛的工业控制器。PID控制器简单易懂，使用中不需精确的系统模型等先决条件，因而成为应用最为广泛的控制器。首先，PID应用范围广。虽然很多工业过程是非线性或时变的，但通过对其简化可以变成基本的线性和动态特性不随时间变化的系统，这样PID就可以控制了。并且，PID参数较易整定。也就是，PID参数Kp、Ti和Td可以根据过程的动态特性及时整定。如果过程的动态特性变化，例如可能由负载的变化引起系统动态特性变化，PID参数就可以重新整定。2.2 PID控制的基本原理在经典控制系统中，控制器最常用的控制规律就是PID控制。PID控制系统原理框图如下所示：图2-1 PID控制器的原理框图PI
11、D控制是一种线性控制方法，它根据给定值与实际输出值构成控制偏差，即。对偏差进行比例、积分、微分运算，将三种运算的结果相加，就得到PID控制器的控制输出。在连续时间域中，PID控制器算法的表达式如下：其中： 控制器的比例系数 控制器的积分时间，也称积分系数 控制器的微分时间，也称微分系数PID控制器各个校正环节的作用如下：比例环节（P）：比例环节的作用是对偏差瞬间作出反应。偏差一旦产生控制器立即产生控制作用，使控制量向减少偏差的方向变化。控制作用的强弱取决于比例系数，比例系数越大，控制作用越强，则过渡过程越快，控制过程的静态偏差也就越小；但是越大，也越容易产生振荡，破坏系统的稳定性。积分环节（I
12、）：积分环节主要用于消除稳态误差，提高系统的无差度。积分环节的调节作用虽然会消除静态误差，但也会降低系统的响应速度，增加系统的超调量。积分常数越大，积分的积累作用越弱，这时系统在过渡时不会产生振荡；但是增大积分常数会减慢静态误差的消除过程，消除偏差所需的时间也较长，但可以减少超调量，提高系统的稳定性。当较小时，则积分的作用较强，这时系统过渡时间中有可能产生振荡，不过消除偏差所需的时间较短。微分环节（D）： 微分环节的作用使阻止偏差的变化。它是根据偏差的变化趋势（变化速度）进行控制。偏差变化的越快，微分控制器的输出就越大，并能在偏差值变大之前进行修正。微分作用的引入，将有助于减小超调量，克服振荡
13、，使系统趋于稳定，特别对髙阶系统非常有利，它加快了系统的跟踪速度。微分部分的作用由微分时间常数决定。越大时，则它抑制偏差变化的作用越强；越小时，则它反抗偏差变化的作用越弱。控制器参数的整定是指决定控制器的比例系数、积分时间、微分时间的具体数值。整定的实质是通过改变调节器的参数，使其特性和过程特性相匹配，以改善系统的动态和静态指标，取得最佳的控制效果。其传递函数为： 令，可解得： 当 时，、为两个负实根，即控制系统串入比例积分加微分控制器后，由于引入了一个位于坐标原点的极点，可使系统的型别增大1，同时还引入两个负实数零点，所以PID控制器既能在提高系统稳态性能的同时，提高系统的动态性能。综合P、
14、I、D三种调节的优点，PID调节功能齐全，可以发挥3种不同调节规律的特性，彼此取长补短，使其调节质量更为理想。不论对象负荷变化快慢、滞后大小、反应速度如何，基本上均能适应。PID调节的缺点是要整定三个参数(Kp、和)，要将三个参数选择恰当，比较复杂。PID调节的超调量较小，只比PD调节稍大，但无静差。由于积分作用，加长了调节时间，使系统的稳定性稍有降低。PID调节通常适用于对象滞后较大、负荷变化较大、又不允许有余差的对象。2.3 PID控制器的设计稳定边界法是目前应用较广的一种PID控制器参数计算方法。该方法基于系统的稳定性理论。系统闭环特征方程的根 (即闭环极点)都在其复平面虚轴的左侧时 ，
15、闭环系统稳定；当闭环特征方程有纯虚根时，系统的根轨迹与虚轴相交 ，其相应等幅振荡，系统临界稳定。当置PID控制器的与，增加值直至系统开始振荡，此时系统闭环极点对应在复平面的叫虚轴上，确定系统闭环根轨迹与复平面叫轴交点，求出交点的振荡角频率叫及其对应的系统增益K，则其PID控制器参数整定计算公式。调节规律0.50.4550.85*2/0.60.5*2/0.125*2/表2-1 稳定边界法PID整定公式本文天线伺服系统的模型（三阶模型），传递函数为利用 Matlab，根据稳定边界准则法设计一PID控制器加入系统，使系统稳定 。首先要把给定的控制系统输入MATIAB中，因已给定了其开环传递函数，所以可以直接使用，然后使用 rlocus和 rlocfind命令来求得振荡频率，和对应增益K，具
