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1、金属互连焊球的电迁移试验设计研究与灵敏度分析_有限元分析-论文网论文摘要：综合考虑多种电迁移驱动机制, 基于ANSYS软件和FORTRAN程序提出电迁移失效算法, 导出了电迁移灵敏度分析方程, 并建立相应的数值算法. 在此基础上考虑设计变量为激活能、初始自扩散系数和材料力学性能参数等对金属互连焊球进行电迁移灵敏度分析, 同时基于三维有限元分析的全因子试验设计法对CSP封装结构的电迁移寿命进行仿真预测.论文关键词：电迁移,灵敏度,试验设计,互连焊球,有限元分析0引言电迁移（EM）是导电金属材料在通过较高的电流密度时,金属原子沿着电子运动方向进行迁移的扩散现象,它是引起集成电路（IC）失效的一种重
2、要机制.特别是随着微电子技术的迅猛发展,电子器件焊点尺寸及其间距日趋减小,电流密度急剧增加,电迁移现象更易发生,所引起的可靠性问题就更加严重.电迁移失效问题并非一个孤立的现象,在电迁移过程中往往同时伴随着热迁移、应力迁移和化学迁移等过程.高电流密度产生的焦耳热将形成温度梯度,这种梯度是热迁移的驱动力;电迁移形成的空穴将诱致互连结构内部产生应力,伴随着机械载荷和热载荷引起的应力,这些应力叠加起来将形成应力梯度驱使原子进行迁移.另外,由于迁移导致金属结构内部原子密度不均匀,这种原子密度梯度引起了化学迁移.因此,金属互连结构的电迁移失效问题实际上是在多种迁移机制耦合作用的共同结果.灵敏度分析是一种评
3、价因设计变量或参数的改变而引起结构响应特性变化率的方法,广泛地用于结构的优化设计.灵敏度分析对于结构的优化设计和可靠性分析至关重要.对于电迁移灵敏度问题，影响因素主要有几何尺寸、材料参数和边界条件等,通过试验设计研究和灵敏度分析,可充分了解不同因素对电迁移特性的影响程度,对于提高焊球抵抗电迁移的能力具有非常重要的意义.因此,本文在前期研究的基础上,进一步研究金属互连焊球电迁移的试验设计仿真和灵敏度分析,为微电子芯片的设计、制造和封装工艺的参数优化提供依据.1电迁移模拟算法电迁移是扩散控制的质量输运过程,原子密度的演化方程是典型的质量守恒方程,表达如下:(1)式中,c=C/C为正则化的原子密度,
4、C为真实的原子密度,C为无应力状态（平衡状态）下初始原子密度;t是时间;是正则化的总原子通量.总原子通量可表示为:(2)其中,(3)式中,k为Boltzmann常数;e为电子电荷;为有效电荷数;T为绝对温度;为电阻率,a金属材料的温度系数,为初始温度T所对应的电阻率;为电流密度矢量;为传输热;W为原子体积;为静水压力,s、s、s为三个主应力;为金属原子的有效扩散速率,为激活能,D为初始自扩散系数.通常,在边界G上,电迁移演化方程的边界条件和初始条件分别可表示为:(4a)(4b)基于伽辽金方法,对式(1)进行求解:(5)将式(2)和式(4a)代入,可得：(6)式中,取权函数,其中是单元的形函数.
5、假设,经过单元的离散化,可以得到方程(6)的矩阵形式:(7)引入a族差分格式:,0a1(8)式中,是时间步长.由式(7)和式(8),可得(9)式中,.(15)由给定的电流密度、温度T、温度梯度?T和静水应力梯度,式(1)描述了原子密度的演化过程.为了获得连续的原子密度重分布,假设从一个平衡状态达到一个新的平衡状态过程中,电流、温度和应力是迅速进行重分布的,相对而言原子的迁移是缓慢的.为此,一旦得到了电流、温度和应力分布,我们就可以基于稳态解求解原子密度的演化过程.具体地,我们通过ANSYS电热结构耦合分析获得模型的电流密度分布、温度分布和应力分布,并基于FORTRAN编写的原子密度重分布算法获
6、得不同时刻的原子密度,详尽的算法和分析流程可参见我们以往的论文6-8.2电迁移灵敏度分析电迁移灵敏度分析主要是研究由设计变量引起的原子密度响应的变化率,可简单表示为,设计变量可取电迁移分析的物理学材料参数、金属材料电、热和机械性能参数以及几何结构尺寸和形状参数等.假设用上标“”表示对设计变量求微分,则;.式(6)对设计变量求微分,可得:(10)方程(10)写成矩阵形式,可以表示为:(11)其中,为刚度矩阵;.鉴于原子密度灵敏度的时间相关性,采用族近似加权平均法获取原子密度灵敏度.(12)式中，是时间步长.当,式(12)可简化为,显然这是前差分格式（显式算法）;当,式(12)简化为,这是后差分格
7、式（隐式算法）;本文取(隐式算法),称为Crank-Nicolson方法，其算法是稳定的且具有O(Dt)精度.对于隐式算法(),计算不依赖于时间步长,结果是稳定的;对于显式算法()则不然,只有当，式中为的最大特征值，算法才是稳定的.由方程(11)和(12)可得:(13)其中,;和可由原子密度重分布方程得到,而初始原子密度灵敏度,因此由方程(13)可得到每个时间步的原子密度灵敏度.进一步,特殊情况下，矩阵可以简化为：(14)对于无通量边界条件（,即在封闭域内原子没有输入和输出）,则有.当设计变量为材料的力学性能参数时,式(13)可以进一步简化为:(15)可以发现,基于力学性能参数的灵敏度方程退化
8、为原子密度重分布方程.将初始原子密度灵敏度代入方程(15),易得,即无通量边界条件下任意时刻原子密度对力学性能参数的灵敏度为0.这表明,金属互连结构的力学性能参数的变化对无通量边界条件下的电迁移没有影响.为了验证上述电迁移灵敏度分析算法的正确性,以长为l、受恒定电流作用的金属导线为例,并且正则化原子通量仅考虑电子风力和原子密度梯度两种驱动力,则电迁移演化方程中可简化为:(16)其中,x为电场的坐标值.考虑封闭的边界条件,(17)其中,t为时间.为计算方便,引入无量纲参数和,其中,具有的单位,为电迁移的特征长度,即“Blech长度”;为正则化时间,则电迁移演化方程(16)在阴极处的解析解为:(1
9、8)因此,正则化原子密度关于激活能E和初始自扩散系数D的灵敏度分别为:(19)(20) 电子流方向 进一步,以截面为7mm7mm的Al线为例（如图1所示）,利用ANSYS有限元软件分析该模型在恒定电流密度为和温度400K下,基于本文的原子密度重分布算法得到阴极处的正则化原子密度随时间的变化情况. 图1Al线模型的网格（共350个单元,p=2）Fig.1MeshofAlwiremodel(350elements,p=2)图2为无通量边界时不同长度导体在阴极边界上（x=0）的正则化原子密度随时间的变化情况,图中的虚线为根据式(18)取前100项所得的解析解.从图2可以看出,在阴极边界上的解析解和本
10、文的电迁移算法求得的原子密度吻合的很好,充分证明了该算法的正确性.图2不同长度导体在阴极的正则化原子密度变化Fig.2Normalizedatomicdensityatcathodewiththedifferentlengthsofconductors以下考虑网格对本文算法的影响.以p=2为例,将Al线模型划分成不同密度的网格,得到不同网格密度情况下阴极边界处的正则化饱和原子密度值,如表1所示.可以看出,本文算法并不依赖网格的划分.另外,表2为单元总数为350时不同时间增量下阴极边界处的正则化饱和原子密度,从表2可以看出,本文算法基本不依赖时间增量,即该算法是稳定的.表1不同网格密度下阴极的正
11、则化饱和原子密度（p=2）Table1Normalizedsaturationatomicdensityatcathodewithdifferentmeshdensities(p=2) 单元总数 无边界通量变化的正则化饱和原子密度 误差（%） 解析解 本文算法解 176 2.3230 2.3110 -0.0865% 350 2.3118 -0.0519% 882 2.3123 -0.0303% 2700 2.3127 -0.0130% 表2不同时间增量时阴极处的正则化饱和原子密度（p=2）Table2Normalizedsaturationatomicdensityatcathodewithdifferenttimeincrement(p=2) p=2 无边界通量变化的正则化饱和原子密度 时间增量: Dt 0.001 0.01 10 100 单元数目: 350 2.3118
