五大模型精选文档、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等;其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比如上图Si :S2 a: b⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图 SAa口 =SAbcd ;ACD BCD反之，如果Sa ACD⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比如图，在4ABC中，D,E分别是 AB,AC上的点（如图1）或D在BA的延长线上，E在AC上（如图2）,则 Sa ABC : Sa ade （AB AC） :（AD AE）图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系 （“蝴蝶定理” ）：① G：S2 $4:%或者§ S3 S2 S4 ② AO:OC S S2 : S4 S3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型，一方面可以使不 规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例 关系。
梯形中比例关系 （“梯形蝴蝶定理”）① S1 : S3 a2 ： b2② Si: S3: 8 : S4 a2: b2 : ab: ab ;2③梯形S的对应份数为 a b 四、相似模型相似三角形性质:金字塔模型沙漏模型① AD AE DE AFAB AC BC AG② Saade : Saabc2 — 2AF :AG 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方五、燕尾定理模型S»A BGE ： S»A EGC BE ： EC Saagf：Sa fgc AF：FC Sk ADG ： S\ DGB AD：DB典型例题精讲例1 .J一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的 %J^21平方厘米问：长方形的面积是 平方厘米0.15倍，黄色三角形的面积是例1图如图，三角形田地中有两条小路 AE和CF,交叉处为D,张大伯常走这两条小路， 他知道DF=DC,且AD=2DE则两块地 ACF和CFB的面积比是O例2图【举一反三】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示,7, 7,则阴影四边形的面积是多少？三个三角形的面积分别是 3,举一反三图【拓展】如图，已知长方形 ADEF的面积16,三角形ADB的面积是3,三角形ACF的面积是4,那么三 角形ABC的面积是多少？拓展图CA边延长3倍到F。
如果三角例3 如图，将三角形 ABC的AB边延长1倍到D, BC边延长2倍到E, 形ABC的面积等于1,那么三角形DEF的面积是 例3图例4 如图，在^ ABC中，已知 M、N分别在边 AC、BC上，BM与AN相交于 O,若△ AOM、AABO 限^和^ BON的面积分别是3、2、1,则4 MNC的面积是例5 如图，四边形中的面积EFGH 的面积是 66 平方米，EA=AB,CB= BF, DC = CG, HD = DA ,求四边形 ABCD如右图长方形ABCD 中，EF= 16, F=9,求 AG 的长铺垫】图中四边形 ABCD是边长为12cm的正方形，从 G到正方形顶点 C、D连成一个三角形，已知这个三角形在 AB上截得的 EF长度为4cm,那么三角形 GDC的面积是多少?例7，如图，长方形ABCD中，E为AD中点， 求 AG例8）如右图，三角形 ABC中，BD：DC=4：例9，如右图，△ ABC中，G是AC的中点，［: BG交十N,已知△ ABM的面积比四边形 方厘米？AF 与 BE、BD 分别交于 G、H,已知 AH = 5cm, HF = 3cm,Jr— py 1例7图9, CE : EA = 4 ： 3,求 AF ： FB。
B L） C例8图）、E、F是BC边上的四等分点， AD与BG交十M, AF与FCGN的面积大7.2平方厘米，则4 ABC的面积是多少平例10如图，在正方形 ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且CE=2BE, CF= 2DF,连接BF, DE, 相交于点G,过G作MN, PQ得到两个正方形 MGQA和正方形PCNG,设正方形 MGQA的面积为S,正方形PCNG的面积为S2,则S： S =例10图。