1专题二三角函数与平面向量真题体验引领卷1.(2015 全国卷 I )sin 20°cos 10° —cos 160° sin 10°=()A.並b.F22C.1D.1222.(2014全国卷I )若tana >0，则（)A.sin a >0B. cos a>0C.sin 2 a >0D. cos 2(% >03.（2015全国卷I ）设D ABC所在平面内一点，BC= 3CD,()、选择题则A.AD =-3aB + 3ACB. AD = *AB-3ACC.AD =細 +D.AD = 3AB- 3AC4. （2014江西高考）在厶ABC中，内角A, B, C所对的边分别是a,… _2si n2B— sin 2A—b, c,若3a = 2b,则 的值为（ ）C. 15. (2014 四川高考)平面向量 a= (1, 2), b= (4, 2), c= ma+ b(m€ R),且c与a的夹角等于c与b的夹角，贝S m =( )A . - 2 B. - 1C. 16. （2015全国卷I ）函数f（x）= cos@x+妨的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）( 1 3)A. kn -4, kn+ 4 , k€ ZB. 2k n-4, 2kn + 3j, k€ ZC. k-： k+ 3 j, k€ ZD. 2k-4, 2k+ 4j, k€ Z 二、填空题7. （2015天津高考）在厶ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, 1b, c,已知△ ABC 的面积为 3 15, b-c= 2, cos A=-4,贝S a 的值8. (2015全国卷I )在平面四边形 ABCD中，/A=Z B=Z C= 75°,BC= 2,则AB的取值范围是 .19. (2015浙江高考)已知ei, e2是空间单位向量，ei •空=2,若空间5向量 b满足 b ei = 2, b e = 2,且对于任意 x, y€ R, |b— (xei + ye2)|》|b—(xoei + y°e2)|= l(xo, y。
€ R),贝S x , yo= , |b|三、解答题10. (2015全国卷")在厶ABC中，D是BC上的点，AD平分/ BAC,△ ABD面积是△ ADC面积的2倍.(1)求sin B sin C；(2)若AD = 1, DC =于，求BD和AC的长.11. (2015 天津高考)已知函数 f(x) = sin2x— sin2 x—g , x€ R.I 6丿(1) 求f(x)的最小正周期；(2) 求f(x)在区间一才,"4上的最大值和最小值.c n12. (2015 山东高考)设 f(x) = sin xcos x— cos2 x +巨.(1) 求f(x)的单调区间；(2) 在锐角△ ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c.若 f分0, a= 1,求厶ABC面积的最大值.专题二三角函数与平面向量真题体验引领卷1. D[原式=sin 20° cos 10°+ cos 20° sin 10°= sin 30=2]2. C[因 tana=如厶>0，所以]sin a>°,cos a cos a >0” sin a <0, 或cos a <0,sin 2 a=2sina cos a >0.故选 C.]3. Af f f f f f[T BC= 3CD，二 AC—AB= 3(AD — AC),即 4AC — AB= 3AD,AD =—^AB+4AC.]4. D ［由正弦定理得吧—啓=吟，由已知得a=2,代入9 7上式得结果为2x4-山2.]5. D [由于 a = (1, 2), b= (4, 2),所以 c= ma+ b= (m+ 4, 2m+ 2),又由于c与a的夹角等于c与b的夹角,所以 cos〈a, c>= cos〈 b,c>,也就是(m+4)+ 2 (2m+ 2) _4 (m+4)+ 2 (2m+ 2)厉 = 倔,解得m= 2.]T 5 16. D [由函数的图象知2 = 4 — 4= 1,二T= 2,因此 xa=1—2=—4, xb=4+2=4.f 1 3 ■所以f(x)的单调减区间为2k—4, 2k+ 4[ k€ Z.]7. 8 [ vcos A= — 4, 02= |e| • |q|cos〈 e , e?> = ^,.< 0, e^>n=3.兀 丄、 1 x/3 "丁不妨设 e =运，2 , 0 , e2= (1, 0, 0),. 1b e1 =尹+ 2 n = 2, 由题意知_ _5b e)2 _ m _ 2,b= (m, n, t).解得门二于,m=5,心^3」2 ― 2 x, J,b=i'5 1Tb— (xei + ye2)=十 qx— y,.|b— (xei + ye2)|2 =F+ 習-当xf +12 = "xy+ y2— 4x —y— 4 2 35y + t2+ 7=込+ 2 ! + 4(y — 2)2 +12.由题意知，当 x=x°= 1, y= y°=2时,y 4 2+ |(y— 2)2+12取到最小值.此时t2 =1,故 |b| =52+审乍+12 = 2/2.]10. 解 (1)S^abd = 2AB • ADsin / BAD,1S^ADC = ADsin/ CAD.因为 Sabd = 2Saadc，/ BAD=/ CAD，所以 AB= 2AC.由正弦定理可得 黠=AC=2.⑵因为 Saabd : Saadc = BD : DC,所以 BD = 2.在厶ABD和厶ADC中，由余弦定理知AB2 = AD2 + BD2 — 2AD BDcos/ ADB,AC2 = AD2 + DC2 — 2AD DCcos/ ADC.故 AB2 + 2AC2= 3AD2 + BD2 + 2DC2= 6,由(1)知 AB= 2AC,所以 AC= 1.° 1 — cos 2x11.解(1)f(x)= 23 17sin 2x—4cos 2x2£s 2x+爭sin 2x - 2cos 2x=2s叭2x— 6".'2兀所以f(x)的最小正周期t=号⑵因为f(x)在区间一扌,n6上是减函数，在区间一寸上是增函数，且f14,一 1, ff V所以f（x）在区间一专,n上的最大值为1最小值为—-.12.解 (1)f(x) = 2sin 2x— 2”+ cos?x+111 1=2sin 2x — 2+ 2sin 2x= sin 2x —. n n /口 n n由 2k n — "2 W 2x<2kn+ T，k€ 乙得 kn— 7WxWkn+ 7, k€Z.n 3 n n 3 n由 2k n + "2 W 2xW 2k n + ? , k € Z ,彳得 k n + W xW k n + ~~ , k € Z.所以f(x)的单调递增区间是 一n + kn , n + kn (k€ Z);n 3 n单调递减区间是 n + kn ,亍+ kn (k€ Z).丄压、 1 e 1(2)由 fj != sin A—0,得 sin A=2，由题意知A为锐角，所以cos A=由余弦定理 a2 = b2 + c2— 2bccos A,可得 1+ 3bc= b2 + c2> 2bc,即bcW2 + .3,当且仅当b= c时等号成立.因此*bcsin AW兮所以△ ABC面积的最大值为2： 3。