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1、2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题（共12小题，每小题5分）1（5分）已知集合A=x|x22x30，B=x|2x2，则AB=（）A1，2）B1，1C1，2）D2，12（5分）=（）A1+iB1iC1+iD1i3（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）Af（x）g（x）是偶函数B|f（x）|g（x）是奇函数Cf（x）|g（x）|是奇函数D|f（x）g（x）|是奇函数4（5分）已知F为双曲线C：x2my2=3m（m0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）AB3CmD3m5（5分）4位同学各自在周六
2、、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）ABCD6（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在0，的图象大致为（）ABCD7（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）ABCD8（5分）设（0，），（0，），且tan=，则（）A3=B3+=C2=D2+=9（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：（x，y）D，x+2y2 p2：（x，y）D，x+2y2p3：（x
3、，y）D，x+2y3p4：（x，y）D，x+2y1其中真命题是（）Ap2，p3Bp1，p4Cp1，p2Dp1，p310（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）AB3CD211（5分）已知函数f（x）=ax33x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x00，则实数a的取值范围是（）A（1，+）B（2，+）C（，1）D（，2）12（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A6B6C4D4二、填空题（共4小题，每小题5分）13（5分）（xy）（x
4、+y）8的展开式中x2y7的系数为 （用数字填写答案）14（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 15（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为 16（5分）已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinAsinB）=（cb）sinC，则ABC面积的最大值为 三、解答题17（12分）已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，an0，anan+1=Sn1，其中为常数（）证明：an+2an=（）是否存在，使得
5、an为等差数列？并说明理由18（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（，2），其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2（i）利用该正态分布，求P（187.8Z212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX附：12.2若ZN（，2）则P（Z+）=0.68
6、26，P（2Z+2）=0.954419（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C（）证明：AC=AB1；（）若ACAB1，CBB1=60，AB=BC，求二面角AA1B1C1的余弦值20（12分）已知点A（0，2），椭圆E：+=1（ab0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点（）求E的方程；（）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程21（12分）设函数f（x）=aexlnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处得切线方程为y=e（x1）+2（）求a、b；（）证明：f（x）1选修4-1：几何证明选讲22（
7、10分）如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE（）证明：D=E；（）设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：ADE为等边三角形选修4-4：坐标系与参数方程23已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程（）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值选修4-5：不等式选讲24若a0，b0，且+=（）求a3+b3的最小值；（）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题
8、，每小题5分）1（5分）已知集合A=x|x22x30，B=x|2x2，则AB=（）A1，2）B1，1C1，2）D2，1【考点】1E：交集及其运算菁优网版权所有【专题】5J：集合【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可【解答】解：由A中不等式变形得：（x3）（x+1）0，解得：x3或x1，即A=（，13，+），B=2，2），AB=2，1故选：D【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）=（）A1+iB1iC1+iD1i【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】5N：数系的扩充和复数【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算
9、性质，计算求得结果【解答】解：=（1+i）=1i，故选：D【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题3（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）Af（x）g（x）是偶函数B|f（x）|g（x）是奇函数Cf（x）|g（x）|是奇函数D|f（x）g（x）|是奇函数【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断菁优网版权所有【专题】51：函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论【解答】解：f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（x）=f（x），g（x）=g（x），f（x）g（x）=f（x）g
10、（x），故函数是奇函数，故A错误，|f（x）|g（x）=|f（x）|g（x）为偶函数，故B错误，f（x）|g（x）|=f（x）|g（x）|是奇函数，故C正确|f（x）g（x）|=|f（x）g（x）|为偶函数，故D错误，故选：C【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键4（5分）已知F为双曲线C：x2my2=3m（m0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）AB3CmD3m【考点】KC：双曲线的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结
11、论【解答】解：双曲线C：x2my2=3m（m0）可化为，一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，点F到C的一条渐近线的距离为=故选：A【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题5（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）ABCD【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率菁优网版权所有【专题】11：计算题；5I：概率与统计【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公
12、益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有242=162=14种情况，所求概率为=故选：D【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数6（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在0，的图象大致为（）ABCD【考点】3P：抽象函数及其应用菁优网版权所有【专题】57：三角函数的图像与性质【分析】在直角三角形
13、OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，POM=x，则OM=|cosx|，点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选：C【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用7（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）ABCD【考点】EF：程序框图菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4不满足条件n3，跳出循环体，输出M=故选：D【点评】
