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1、内容概述第三讲 绝对值 绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。 绝对值的定义及性质绝对值 简单的绝对值方程 化简绝对值式，分类讨论（零点分段法） 绝对值几何意义的使用绝对值的定义及性质绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。绝对值的性质：（1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|0，这是绝对值非常重要的性质； a （a0）（2） |a|= 0 （a=0） （代数意义） -a (a0) （3） 若|a|=a，则a0；若|a|=-a，则a0；（4）
2、 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|a，且|a|-a；（5） 若|a|=|b|，则a=b或a=-b；（几何意义）（6） |ab|=|a|b|；|=（b0）；（7） |a|=|a|=a；（8） |a+b|a|+|b| |a-b|a|-|b| |a|+|b|a+b| |a|+|b|a-b|例1（1） 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？（2） 若ab|ab|，则下列结论正确的是（ ）A.a0，b0 B.a0，b0 C.a0，b0 D.ab0（3） 下列各组判断中，正确的是（ ）A若|a|=b，则一定有a=b B.若|a|b|,则一定有abC. 若|a|b，则
3、一定有|a|b| D.若|a|=b，则一定有a=(-b) （4） 设a，b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？分析：（1） 结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有3，4，有4个（2） 答案C不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。（3） 选择D。（4） 根据绝对值的非负性可以知道|a+b|0，则|a+b|9，有最小值9巩固 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？：绝对值小于3.1的整数有0，1，2，3，和为0。巩固 有理数a与b满足|a|b|，则下面哪个答案正确（ ） A.ab B.a=b C.ab D.无法确定分析：选择D。巩固 若|x-3|=
4、3-x，则x的取值范围是_分析：若|x-3|=3-x，则x-30，即x3。对知识点3的复习巩固巩固 若ab，且|a|b|，则下面判断正确的是（ ） A.a0 B.a0 C.b0 D.b0分析：选择C巩固 设a，b是有理数，则-8-|a-b|是有最大值还是最小值？其值是多少？分析：|a-b|0，-8-|a-b|-8，所以有最大值-8例2（1）（竞赛题）若3|x-2|+|y+3|=0，则的值是多少？（2）若|x+3|+(y-1)=0，求的值分析：（1）|x-2|=0，|y+3|=0，x=2，y=-3，= （2）由|x+3|+（y-1）=0，可得x=-3，y=1。=-1 n为偶数时，原式=1；n为奇
5、数时，原式=-1小知识点汇总：（本源 |a|0 b0） 若(x-a)+(x-b)=0,则x-a=0且x-b=0； 若|x-a|+(x-b)=0,则x-a=0且x-b=0； 若|x-a|+|x-b|=0，则x-a=0且x-b=0； 当然各项前面存在正系数时仍然成立，非负项增加到多项时，每一项均为0，两个非负数互为相反数时，两者均为0简单的绝对值方程【例3】（1） 已知x是有理数，且|x|=|-4|，那么x=（2） 已知x是有理数，且-|x|=-|2|，那么x=（3） 已知x是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x=（4） 如果x，y表示有理数，且x，y满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=
6、y-x，那么x+y的值是多少？分析： （1）4，-4 （2）2，-2， （3）2，-2 （4）x=5，y=2，且|x-y|=y-x，x-y0； 当x=5，y=2时不满足题意；当x=5，y=-2时不满足题意； 当x=-5，y=2时满足题意；x+y=-3；当x=-5，y=-2时满足题意，x+y=-7。【巩固】巩固|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值分析：因为|x|=4，所以x=4，因为|y|=6，所以y=6 当x=4，y=6时，|x+y|=|10|=10； 当x=4，y=-6时，|x+y|=|-2|=2; 当x=-4，y=6时，|x+y|=|2|=2； 当x=-4，y=-6时，|x+y|
7、=|10|=10【例4】解方程：（1） （2）|4x+8|=12 （3）|3x+2|=-1 （4）已知|x-1|=2，|y|=3，且x与y互为相反数，求的值分析：（1）原方程可变形为：|x+5|=，所以有x+5=，进而可得：x=-，-； （2）4x+8=12，x=1，x=-5 （3）此方程无解 （4）|x-1|=2，x-1=2，x=3，x=-1，|y|=3，y=3，且x与y互为相反数，所以x=3，y=-3，【例5】 若已知a与b互为相反数，且|a-b|=4，求的值分析：a与b互为相反数，那么a+b=0。 = 当a-b=4时，且a+b=0，那么a=2，b=-2，-ab=4； 当a-b=-4时，且
8、a+b=0，那么a=-2，b=2，-ab=4； 综上可得=4化简绝对式【例6】（1） 已知a=-，b=-，求的值（2） 若|a|=b，求|a+b|的值（3） 化简：|a-b|分析：（1）原式= （2）|a|=b，我们可以知道b0，当a0时，a=-b，|a+b|=0；当a0时，a=b，|a+b|=2b （3）分类讨论。 当a-b0时，即ab，|a-b|=a-b； 当a-b=0时，即a=b，|a-b|=0； 当a-b0时，即ab，|a-b|=b-a。【巩固】 化简：（1）|3.14-| （2）|8-x|（x8） 分析：（1）3.14，3.14-0，|3.14-|=-3.14 （2）x8，8-x0，
9、|8-x|=x-8。【例7】有理数a，b，c在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|CB0A分析：|b+a|+|a+c|+|c-b|=b+a-（a+c）-（c-b）=2b-2c【巩固】已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|a0cb分析：|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|=-a+b-c-a+c+b-a=2b-3a【巩固】数a，b在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a|a0b分析：|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a|=-（a+b）+（b-a）+b-（-2a）=b【例8】（1）若a
10、-b且，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab| （2）若-2a0，化简|a+2|+|a-2| （3）已知x00,|y|z|x|,求|x+z|+|y+z|-|x-y|的值分析：（1）若a-b且，a0,b0,a+b0 |a|-|b|+|a+b|+|ab|=-a+b-a-b+ab=ab-2a (2)因为-2a0，所以a+20，a-20，|a+2|+|a-2|=(a+2)-(a-2)=4 (3)由x00可得：y0|z|x|,可得：yxz;原式=x+z-y-z-x+y=0【巩固】如果0m10并且mx10，化简|x-m|+|x-10|+|x-m-10| 分析：|x-m|+|x-10|+|x-m-10|=
11、x-m+10-x+m+10-x=20-x【例9】（1）已知x-3,化简|3+|2-|1+x| （2）若a0，试化简分析：（1）当x-3时，|3+|2-|1+x|=|3+|2+1+x|=|3+|3+x|=|3-3-x|=|-x|=-x （2）=-【例10】若abc0，则的所有可能值 分析：从整体考虑： （1）a，b，c全正，则=3； （2）a，b，c两正一负，则=1； （3）a，b，c一正两负，则=-1； （4）a，b，c全负，则=-3【巩固】有理数a，b，c，d，满足，求的值分析：有知abcd0，所以a，b，c，d里含有1个负数或3个负数：（1） 若含有1个负数，则=2；（2） 若含有3个负数
12、，则=-2【例11】化简|x+5|+|2x-3| 分析：先找零点。x+5=0，x=-5；2x-3=0，x=，零点可以将数轴分成几段。 当x，x+50,2x-30，|x+5|+|2x-3|=3x+2； 当-5x，x+50,2x-30，|x+5|+|2x-3|=8-x； 当x-5，x+50,2x-3，|x+5|+|2x-3|=-3x-2【巩固】化简：|2x-1|分析：先找零点。2x-1=0，x=，依次零点可以将数轴分成几段（1） x,2x-1，2x-10，|2x-1|=2x-1。也可将（2）与（1）合并写出结果【例12】求|m|+|m-1+|m-2|的值 分析：先找零点，m=0，m-1=0，m-2
13、=0，解得m=0,1,2 依这三个零点将数轴分为四段：m0,0m1,1m2，m2。 当m0时，原式=m（m-1）-（m-2）=-3m+3 当0m1时，原式=m-（m-1）-（m-2）=-m+3 当1m2时，原式=m+（m-1）-（m-2）=m+1 当m2时，原式m+(m-1)+（m-2）=3m-3绝对值几何意义的应用|a|的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离|a-b|的几何意义：在数轴上，表示数a，b对应数轴上两点间的距离【例13】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值分析：由上题可知，本题中的式子值应为x所对应的点分别到3,5,2，-1，-7所对应的点距离和。通过数轴可以看到，当x=2时，五段距离的和有最小值16。这里我们可以把小学奥数中的相关知识联系到一起讲解： 【小学奥数相关题目】如图，在接到上有A、B、C、D、E五栋居民楼，现在设立一个邮筒，为使五栋楼的居
