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1、第九章立体几何知识结构【知识概要】一、多面体 1多面体 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。多面体有几个面就称为四棱柱平行六面体直平行六面体底面是矩形/ 棱长长方体正方体几面体。棱柱棱锥棱台疋义由一个平面多边形沿 某一方向平移形成的空间 几何体。当棱柱的一个底面收 缩为一点时，得到的几何 体。棱锥被一个平行于底 面的平面所截后， 截面和底 面之间的部分。性质(1) 两个底面与平行于底面 的截面是对应边互相平行 的全等多边形；(2) 侧面都是平行四边形， 侧棱都相等；(3) 过棱柱不相邻的两条侧 棱的截面都是平行四边形。(1) 底面是多边形；(2) 平行于底面的截面与底 面相似；(3) 侧
2、面是有一个公共顶点 的三角形。(1) 两个底面是相似多边 形；(2) 两个底面以及平行于底 面的截面是对应边互相平 行的相似多边形；(3) 侧面都是梯形。、中心投影和平行投影 1投影一一是光线(投射线)通过物体，向选定的面(投影面)投射，并在该面上得到图形的方法。投射线交于一点的投影称为中心投影。投射线相互平行的投影称为平行投影。平行投影按投射方向是否正对着投影面，可分为斜投影和正投影。 2视图一一物体按正投影向投影面投射所得的图形。光线从物体的前面向后投射所得的投影称为主视图或正视图，自上向下的称为俯视图，自左向右的称为左视图。正视图、俯 视图、左视图称为三视图；作图关键：按“长对正、高平齐
3、、宽相等”。 3空间几何体画在纸上，要体现立体感，底面常用斜二侧画法，画出它的直观图。三角形 ABC的面积为 S,用斜二测画法画得它的直观图三角形ABC的面积为S，则S丄子S。作图关键：倾斜 45，横“等”纵“半”。三、平面基本性质：（三公理三推论）名称内容公理1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一 条直线。公理3经过不在一条直线上的二点，有且仅有一个平面。推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。推论2经过两条相交直线，有且仅有一个平面。推论3经过两条平行线，有且仅有一个
4、平面。四、空间两条不重合的直线的位置关系 1空间两条直线有三种位置关系：（1）相交直线；（2）平行直线；（3）异面直线。 2若从有无公共点角度看，可分两类：有且只有一个公共点一一相交直线f平行直线没有公共点-|异面直线3.若从是否共面的角度看，可分为两类：相交直线在同一平面内j平行直线不同在任一平面内异面直线异面直线（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。（2）性质：两条异面直线既不相交也不平行。（3）判定定理一一连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直 线是异面直线。 异面直 线所成的 角一一设a,b是两 条异面直 线，经过空间 任一点0作直线a / a,
5、 b b,我们把a与b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）。（5）异面直线所成角的范围为0,：。（6）求异面直线所成的角分两步：一是找角，通过平行移动找两直线所成的角；二是求角，通过解三角形求角。两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直线互相垂直所以线线垂直包括两条相交直线互相垂直和两条异面直线互相垂直两种情况。五、空间的直线与平面 1定义线面平行的判定定理线面平行的性质定理线面 平 行如果一条直线1与一 个平面a没有公共点，我 们就说直线1与平面a平 行。记作：1 /aa 匚口，1 Ca二 / aI /a即：线线平行n线面平行l/o(,luB gi/anp=a J即：线
6、面平行 n线线平行 2定义线面垂直的判疋疋理线面垂直的性质定理线面 垂 直Paua，有 1 丄a记作：1丄u1丄a,l丄b aPlb=O 二 I 丄aa,bca即：线线垂直=线面垂直a丄a, b丄a/b即：线面垂直=线线平行证明线面平行，要抓住上述判定定理中的“内”“外”两关键字眼，“内应外合”。通过勾股定理的逆定理计算得出垂直也是常用手段。3点到平面的距离过 :-外一点A向作垂线，贝U A和垂足B之间的距离叫做点A到平面:-的距离。4.线面所成的角平面 :-的一条斜线I与它在该平面内的射影所成的锐角，叫做这 条直线与这个平面所成的角 I _：-时称I与所成的角为直角；I H时称I与所成的角为
7、 0角。线面角范围为0,目。5.三垂线定理：如果平面内一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。6.三垂线逆定理：如果平面内一条直线和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。六、空间的平面与平面 1定义面面平行的判定定理面面平行的性质定理面 面 平 行记为：a/ P如果一个平面内有两条 相交直线分别平行于另一个 平面，那么这两个平面平行 即：线面平行n面面平行如果两个平行平面同时 与第三个平面相交，那么它们 的交线平行。即:面面平行二线线平行 2定义面面垂直的判疋疋理面面垂直的性质疋理面 面 垂 直如果两个平面所 成的二面角是直二面 角，我们就说这两个平 面
8、互相垂直。如果一个平面经过另一 个平面的一条垂线，那么这两 个平面互相垂直。即：线面垂直二面面垂直如果两个平面互相垂直， 那么在一个平面内垂直于它 们交线的直线垂直于另一个 平面。即：面面垂直二线面垂直 3二面角一一从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。棱为I，两个半平面分别为:,-的二面角记为:-r !：:; o 二面角范围为0,二。 4二面角平面角的作法：一是定义，在棱上取一点，分别在二面角的两个面作与棱垂直的射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角；二是利用线面垂直的判定和性质，在二面角的一个面内取一点 P作另一个面的垂线，
9、自垂足 A作二面角的棱的垂线 AO， AO与 棱交于点O,则.POA即为二面角的平面角或其补角；三是过空间一点作二面角的棱的垂 面，垂面与二面角的两个面的交线所成的角是二面角的平面角。七、柱、锥、台、球的表面积和体积 1.侧面积公式(注：c表示柱、锥、台的底面周长，c表示棱台上底面周长，h表示正棱锥或正棱台的斜高)直棱柱正棱锥正棱台公式S直棱柱侧 =chS正棱锥侧=2 ch*1 S正棱台侧=*2 (c + c)h 2.体积公式棱柱棱锥棱台公式V柱体=ShV锥体=1 ShV台体=h(S+yS + S) 3.球一一与定点的距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球。与定点距离等于定长的点的集合。 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆,球面大圆小圆。两点的球面距离-段劣弧的长度)。 4.球的截面性质(1) 用一个平面截球，所得的截面是(2) 球心和截面圆心的连线-截面；(3) 球心到截面距离d与球的半径R及截 面的半径r满足关系：r二.R2 -d2。 5.球面面积公式： S求面 = 4；R2 6.球体积公式：V求二3二R3被不经过球心的平面截得的圆叫做球面上两点之间的最短距离(就是经过两点的大圆在这两点间的一个圆面
