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1、求通项公式的常用方法闫会林一、定义法：类型一 若题中已知数列为等差数列（等比数列），则可以直接运用定义求出首 a = a + （ n 一 1） d项以及公差（公比），从而带入an = a 1 q n - 1，得出通项公式。n1例题：等差数列la 是递增数列，前n项和为S，且a , a , a成等比数列，S = a 2 .求nn 13955数列a 的通项公式.n解析：已知a 为等差数列，设公差为d ,则有a = a + 2 d , a = a + 8 d， s = 5 a + 10 d ，n319151a = a + 4 d。又 a 2 = a a ，S = a 2 即(a1+2d)2 = a1
2、 (a1+8d)，解得：a d 3，带入等差数5131 9555 a. +10 d = (a. + 4 d )2153列通项公式得a =3n。n5练习：1，已知a 是公差不为零的等差数列，a =1,且a.， a a成等比数列。n 1 1 3，9求数列a 的通项。n2,设a 是公比为q的等比数列，a =1，且a,，a3，a2成等差数列.1132求a 的通项公式。n类型二利用a =|a1 = S= 1)求解通项公式。 n S S (n 2)nn 一1例题：已知无穷数列a 的前n项和为S，并且a + S = 1(n g N*)，求a 的 nnn nn通项公式？解析：由 a + S = 1(n g N
3、 *)得 s = 1 - a，则 s s = 1 a (1 一 a ) (n 2)，n nnnn n 一 1nn 一 1即2a =a .所以此数列是以1为公比的等比数列。又a +s = 1nn -1211s = a ，所以 a带入等比数列通项公式得an练习：1.已知数列 a 的前n项和S =(n2 + n)n n 22.已知数列a 的前n项和S = 3 + 2”nn3.设数列a 的前项的和S =丄(a -1) (ne N *).n n 3 n(I )求 a1 ； a2；(II)求证数列an为等比数列.4.数列a 的前n项为S ,且a = 1,nn 11=S (n = 1,2,3,)3n(1)
4、求a , a , a的值及数列a 的通项公式.234n(2) 求 a + a + + a242 n5. 数列a 的前n项和记为S，已知a = 1, ann1n +1S (nn=1,2,).证明(1数列是等比数列n( 2 S) = a4n +1n已知递推关系式,求通项。5,类型一累加法:求型如a = a + f (n)的递推数列通项公式的基本方法(f (n)可 n + 1n求前n项和).例题：已知无穷数b 满足b = 1，b - b = 2nn ，求数列b 的通项n1n+1 nn公式.解析：由已知得，b - b = 21，b - b = 22，b - b = 2-i，将这些等式累加2132nn
5、1在一起，则有左边的和等于右边的和，即b - b = 21 + 22 + 2n-1。b - b = 2n - 2n1n1贝 Ib = 2 n - 1。n练习：1,数列a 中，a = 2， 2a - 2a = 1， ( n e N * )。则 a = 。n1n + 1n2009a2, 已知数列a 满足a = 33， a - a = 2n，则的最小值为。n1n+1 nn3, 已知数列匕满足a = 1，a = a + 1，求a。n 1 2n +1n n 2 + n n4, 已知数列a 满足a = 1, a = 3n-1 + a (n 2) n1nn -1(I )求：a , a ;233n - 1(I
6、I)证明：a =n2a = 3，求数列a 的通项公式。1n已知数列a 满足a = a + 2 x 3n + 1，6,已知数列 a 满足ann + 1= 3a + 2 x 3 n + 1，na =3，求数列a 的通项公式。1nnn +1n类型二累乘法：求型如：a = g (n) a的递推数列通项公式的基本方法(数列 n +1ng (n)可求前n项积)例题：已知a = 1 , a = n(a - a ) (n e N*)，求数列a 通项公式.解析：由已知得略=匕an n1nn +1 nn将n = 1, 2 ,以n -分别代入上式得Z =-, a11aa3aan-1，将等式的左边累成等于右边累成，即
7、an = na1a = n。n练习：1, 已知 a = 3 ， a1n + 1(n 1)，求 a - n2,已知数列a 满足ann + 1=2( n + 1)5n x a，na = 3 ，求数列 a 的通项公式。1n3,已知数列a ，满足a =1, a =a +2a +3a +(n1)a (n三2)，贝Ia 的通项 n1n 123n 1n1n = 1,a = 2.类型三、待定系数法：（构造等比数列求通项）a = pa + q （其中P，q均为常数，（pq （p 1）工0）。解法（待定系数法）:n + 1n把原递推公式转化为：a t = p （a t），其中t二亠，再利用换元法转化为n +1n1
8、 p等比数列a -t的形式求解求解。n例题：已知数列a 中，a = 1，a = 2a + 1（n 2），求数列a 的通项公n1nn 1n式.解析:利用待定系数法，将原递推关系式转化为a + 1 = 2（a + 1），令b = a + 1nn 1n n则数列b 是以b = a + 1 = 2为首项，2为公比的等比数列。由等比数列的通项公式n11得 b = 2n .: a = 2n - 1nn练习：1,已知数列 a 的首项a = 1，且a = 2a + 3（ n 2）,则a =.n1nn 1n2,数列a 满足a =1，3a + a - 7 = 0，求数列a 的通项公式。n1n +1nn(2) ：
9、a= pa + q n (其中np，n+1q 均为吊数，（pq （p 一 1）（q 一 1）工 0）。a = pa + rq n , 其中 p，q, n + 1n均为常数） 。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn+1，得：a+ 1引入辅助数列b （其中ban )，得:qnb =匕b +1再待定系数法解决。 qn+1nq例题：已知数列a 中,5a = , a161 _a3+ (_)n+1，求 a2解析：原递推关系式两边同除以f1 n + 12,得到 2n+1 a=2n a + 1，令 b = 2n a ,n + 13nnn22则得到b = -b + 1，用类型(1)中的方法解出 b =
10、-2(-)n + 3 a = -203-n + 302-n。n +1 3 n n 3 n练习：1,数列a 中，a = 1, a = a + 3n-1，求a 的通项公式. n1n +12,已知数列匕满足a = 1，n1a = 3n + 2a (n 2)求a。nn - 1n3,已知数列a 满足a = 2a + 3 x 5n，nn +1na = 6，求数列a 的通项公式。1n4,已知数列a 满足a = 3ann + 1n+5x 2n + 4，a =1，求数列a 的通项公式。1n5,已知数列a 满足ann + 1= 2a +3n2 + 4n+5，na = 1，求数列a 的通项公式。1n(3)递推公式为
11、a = pa + qa (其中P，q均为常数)。解法：先把原递推公n + 2n + 1n式转化为a 一 san+2n+1=t (a - sa )其中 s,n +1nt满足J S + t = P，再构造等比数列st = - qa一 sa 求解。nn - 1例题：已知数列a冲,na = 1,a = 2 ,a12n+ 221a + a 3n +13 n解析：将原递推关系式转化为an+21+ a3n +11=a + an +13 n，令 b =1a + an +13 n，则数列17即 a + a =n +13 n 3由此利用类型(1)解出b 是常数列，b = b =-n n 1 3n-17+ o4注：
12、此题中还可将递推关系式转化为 a - an + 2n+1(a- a3 n +1令 b = a - a ，则数 nn +1n列b 是以1为首项，-丄为公比的等比数列。得b = a - an3n n +1 n，利用累加法，得出相同结果。练习：1,已知数列a 的a = 1 , a = 2且a= 2a - a ,则a =.n 12n + 2n + 1n n2,数列a 满足a = 2, a = 5, a - 3a + 2 a =0，求数列a 的通项公n12n+2n+1nn式。5523,设 a =1,a = ,a = a - a (n=1,2,-),令 b =a -a (n=l,2-).1 2 3 n +2 3 n+1 3 n n n+1 n(I)求数列bn的通项公式；仃I)求数列na 的前n项的和S .nn类型一 练习答案：卷答案1,解：由题设知公差d丰0,由a = 1, a , a , a成等比数列得 1* 11391，解得d = 1或d = 0 (舍去)，故 la 的通项 a = 1 + (n - 1) x 1 = n。 n2,解：设数列a 的公比为q,由题设知2a = a + a31， 2a
