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1、椭圆第二定义学法指导：以问题为诱导，结合图形，引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化.教学目标 知识目标：椭圆第二定义、准线方程； 能力目标：1 使学生了解椭圆第二定义给出的背景；2 了解离心率的几何意义；3 使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义；4 使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用；5 使学生掌握椭圆第二定义的简单应用； 情感与态度目标：通过问题的引入和变式，激发学生学习的兴趣，应用运动变化的观点看待 问题，体现数学的美学价值.教学重点：椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程； 教学难点：椭圆的第二定义的运用；教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：激发学生的学习热情，激发学生
2、的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神 教学过程：学生探究过程：复习回顾1.椭圆9x2 + y2 = 81的长轴长为18，短轴长为6，半焦距为62，离心率为色2 ,3焦点坐标为(0,6“2)，顶点坐标为(0,9) (3,0),(准线方程为y = ).432.短轴长为8,离心率为5的椭圆两焦点分别为F1、F2,过点f1作直线l交椭圆于A、B 两点，则AABF的周长为20.2引入课题M, M2为椭圆上的点x2 y 2【习题4 (教材P50例6)】椭圆的方程为右 = 1，2516 求点M1(4，24)到焦点F (3, 0)的距离26. 若点M2为(4, y0)不求出点M2的纵坐标，你能求出
3、这点到焦点F (3, 0)的距离吗?42y 2：169 13解：I MF 1=(4 3)2 + y2 且+ 讣二 1 代入消去 y 2得I MF =-、025160A1 255x2 y 2【推广】你能否将椭圆一 + J 1上任一点M(x, y)到焦点F(c,O)(c 0)的距离表示成 a 2 b2点 M 横坐标 x 的函数吗？I MF I J(x一c)2 + y2代入消去y2Ib 2I MF IX + c 2 + b 2 一 x 2a 2I Cx-a I C I x-竺 I e I x-竺 I a a cc问题1：你能将所得函数关系叙述成命题吗？(用文字语言表述)a2椭圆上的点M到右焦点F(c
4、,0)的距离与它到定直线x 的距离的比等于离心率ca问题2：你能写出所得命题的逆命题吗？并判断真假？(逆命题中不能出现焦点与离心率)a2c动点M到定点F(c,0)的距离与它到定直线x 的距离的比等于常数一(a c)的点的ca轨迹是椭圆【引出课题】 椭圆的第二定义当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e c (0 e 1)时，这 a个点的轨迹是椭圆.定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率.x2y2a2对于椭圆+ 1，相应于焦点F(c,0)的准线方程是x 根据对称性，相应于焦a 2b2ca2y 2 x2a2点F(-c,0)的准线方程是x -对于椭圆二+厂-1的
5、准线方程是y 土ca 2 b2c可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几 何意义I MF I由椭圆的第二定义二 e可得：右焦半径公式为da2a2I MF I ed e I x -I a - ex ；左焦半径公式为I MF I ed e I x - (- ) I a + ex右c左c典型例题例1、求椭圆笃+追1的右焦点和右准线；左焦点和左准线；25 16解：由题意可知右焦点F (c,0)右准线x =a2；左焦点F (-c,0)和左准线x =a2变式：求椭圆9x2 + y2二81方程的准线方程;一 一一 一 y2 x2 -一a 2 27j2解：椭圆可化为标准
6、方程为：丑+歹-1，故其准线方程为y-三-丁 小结：求椭圆的准线方程一定要化成标准形式，然后利用准线公式即可求出x2y 2例2、椭圆p + - 1上的点M到左准线的距离是2.5，求m到左焦点的距离为.2516变式：求M到右焦点的距离为.解：记椭圆的左右焦点分别为F1，F2到左右准线的距离分别为di，d2由椭圆的第二定义可I MF I I MF I c 33知： e e -.MF I- ed - x 2.5 1.5 .MF I-1.5dda 511511又由椭的第一定义可知：I MF I + I MF I- 2a - 10 .MF I- 8.51 2 2326另解：点M到左准线的距离是2.5,所
7、以点M到右准线的距离为2聖2.5 - 50 -竺 cI MF I3 85e .MF I ed x 8.5d225622，求点 P 的轨小结：椭圆第二定义的应用和第一定义的应用例1、 点P与定点A(2，0)的距离和它到定直线X = 8的距离的比是1：迹；x2y 2-2由化简得花+迈-b(x 2)2 + y21|x-8|解法一：设P( x, y)为所求轨迹上的任一点，则-故所的轨迹是椭圆。a2解法二：因为定点A(2, 0)所以c - 2，定直线X = 8所以x - 8解得a - 4，又因cc 1x2 y 2为e-2故所求的轨迹方程为花+令-1 变式：点P与定点A(2，0)的距离和它到定直线X =
8、5的距离的比是1： 2,求点P的轨 迹；分析：这道题目与刚才的哪道题目可以说是同一种类型的题目，那么能否用上面的两种方法 来解呢？解法设 P(x, y) 为所 求轨迹上 的任 一点， 则：(x - 2)2 + y2-I x - 51 =2由化简得(x -1)2y 23兀2 一 6. + 4y2 -9二0配方得-4- +三=1，故所的轨迹是椭圆其中心在。)解法二：因为定点A (2, 0)所以c二2，定直线x = 8所以x = 5解得a2 = 10 ,故cx2 y 2所求的轨迹方程为応+宁=1x2 y2(x -1)2 y2问题1：求出椭圆方程+斗=1和+? = 1的长半轴长、短半轴长、半焦距、43
9、43离心率；x2 y2(x -1)2 y2问题2：求出椭圆方程+令=1和+牛=1长轴顶点、焦点、准线方程；4343解:因为把椭圆宁+苓=1向右平移一个单位即可以得到椭圆斗+琴=1所以问题1 中的所有问题均不变，均为 a = 3, b = 丫3, c1, e(1,0) x = 4 ；x2 y 2才+宁=1长轴顶点、焦点、准线方程分别为：(20)，(x -1)2y2(1+1,0) x =4+1；甘+宁=1长轴顶点、焦点、准线方程分别为：(2 +】，0)，反思：由于是标准方程，故只要有两上独立的条件就可以确定一个椭圆，而题目中有三个条c 21件，所以我们必须进行检验，又因为e =另一方面离心率就等于
10、怎这是两上矛盾a V102的结果，所以所求方程是错误的。又由解法一可知，所求得的椭圆不是标准方程。 小结：以后有涉及到“动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时”最好的方法是 采用求轨迹方程的思路,但是这种方法计算量比较大；解法二运算量比较小，但应注意到会不会是标准方程，即如果三个数据可以符合课本例 4 的关系的话，那么其方程就是标准方程，否则非标准方程，则只能用解法一的思维来解。 例4、设AB是过椭圆右焦点的弦，那么以AB为直径的圆必与椭圆的右准线( )A.相切B.相离C.相交D.相交或相切分析：如何判断直线与圆的位置关系呢？解：设AB的中点为M,则M即为圆心，直径是IABI；记椭圆的
11、右焦点为F,右准线为l ；d + d 过点A、B、M分别作出准线1的垂线，分别记为di,d2,d由梯形的中位线可知d二p| AF | | BF |又由椭圆的第二定义可知=e= e即1 AF 1 + 1 BF 1= e(d + d )dd1212I AB I_IAFI + IBFI 飞2+d2 且 0 e 罟故直线与圆相离x2 y 2例5、已知点M为椭圆巧+ 77 = 1的上任意一点，F、F分别为左右焦点；且A(1,2)求25 1612I MA I + I MF I的最小值31分析：应如何把5I MF I表示出来31解：左准线J : x 一牛汽，作MD丄1于点，记d =I MD I由第二定义可知
12、：I MF Ic 3=e =da 5I MF I= 3 d n d = 5 I MF Ii 53 i故有 I MA I + 3i MF I=I MA I + d =I MA I + I MD I25所以有当A、M、D三点共线时，IMAI+IMDI有最小值：1 + 丁528即I MA I +日MF I的最小值是丁313变式1： 31MA1 +5 1MF11的最小值;528解：3I MA I +5I MF I= 3(I MA I + I MF I) = 3 x = 2813133变式2： 5 1 MA 1 + 1 MF 1的最小值；3解：51 MA I + I MF I=二(I MA I + 二
13、I MF I)=15巩固练习53 2828x =-3535H y217 _l_ 匚 = 11已知尸是椭圆上一点，若尸到椭圆右准线的距离是戈，则尸到左焦点的距离为.2 若椭圆兀+即=1的离心率为？，则它的长半轴长是.66答案：1.2 . 1或2教学反思1. 椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程；2. 椭圆定义的简单运用；3. 离心率的求法以及焦半径公式的应用；课后作业1例题5的两个变式；亠空=12.已知 虫，衣为椭圆上的两点，码是椭圆的右焦点.若O?AF2 +151 =-a-|5,占的中点到椭圆左准线的距离是2，试确定椭圆的方程.45B到右准线距离分别为心,g =a解：由椭圆方程可知、两准线间距离
14、为 .设虫,心，由椭圆定义有RLRI-4尙 所以阀+陋卜糾+%）中点姒到右准线距离为金，于是皿到左准线距离为533aa=a=，直=1，所求椭圆方程为思考:1.方程2耳(x 1)2 + (y 1)2 =| x + y + 21表示什么曲线?2解：丫（X J +（ J =2 ，空 1 ；即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比2常数（且该常数小于1） 方程表示椭圆例II、（06四川高考15）如图把椭圆的长轴AB分成8等分，过每个等分点作x轴的垂线交 椭圆的上半部分于P P2P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则I PF I + I P F I + + I P F 1 =1 2 7解法一：e =7,设P的横坐标为x，则x =-5 + i不妨设其焦点为左焦点a
