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1、统计学原理课程考题解析（3）典型考题：区间估计1考题回顾 抽样估计是运用数理统计原理，在抽样调查的基础上，利用样本的实际计算样本指标，对全体研究对 象的数量特征作出具有一定可靠程度的估计，以达到对现象总体的认识。由于总体指标是表明总体数量特 征的参数，所以也称参数估计。总体参数估计是教材第5 章的内容，同时也是本门课程的重点和难点内容， 总体参数估计有点估计和区间估计两种，考核的重点是区间估计。在历年的考试每次均会围绕这个内容来 出题，其题型主要是计算题。2考题（1）2005 年 1 月计算第3 题：从某年级学生中按简单随机抽样方式抽取50名学生，对会计学课的考 试成绩进行检查，得知其平均分数
2、为756 分，样本标准差10 分，试以9545的概率保证程度推断全 年级学生考试成绩的区间范围。如果其它条件不变，将允许误差缩小一半，应抽取多少名学生?（2）2005年7月计算第5 题（2007年1月计算第2 题）：某工厂有2000个工人，用简单随机不重复 方法抽出 100 个工人作为样本，计算出平均工资560元，标准差32.45元。要求：（1）计算抽样平均误差；（2）以95.45% （t = 2）的可靠性估计该工人的月平均工资区间。（3）2006年1 月计算第3 题：某企业生产一批日光灯管，随机重复抽取400只作使用寿命试验。测 试结果，平均寿命为5000小时，样本标准差为300小时，400
3、只中发现10 只不合格。求平均数的抽样平 均误差和成数的抽样平均误差。（ 4 ） 2006年7月计算第2题（ 2007年7月计算第2题） ：采用简单重复抽样的方法，抽取一批产品 中的200件作为样本，其中合格品为188件。要求：（1）计算样本的抽样平均误差；（2）以95.45%的 概率保证程度对该产品的合格品率进行区间估计（t=2）。3考题解析 总体参数的区间估计是根据给定的概率保证程度的要求，利用实际抽样资料，指出被估计值的上限和 下限，即指出总体参数可能存在的区间范围。其特点不是直接给出总体参数的估计值，而是指出总体参数 可能存在的区间范围。这样既可表明抽样估计的误差，又可找出误差在一定范
4、围内的概率保证程度。区间估计的步骤： 从区间估计的概念和特点我们可以看出，总体参数的区间必须同时备估计值、抽样误差范围和概率保 证程度三个要素。所以在进行区间估计时，必须要解决两个关键问题，一是如何确定总体的变动范围；二 是找出总体指标在此范围内变动的概率保证程度。而我们可以结合所给的具体条件不同，得出两套模式来 解决这两个问题。其基本步骤为：第一套模式：已知抽样误差范SAx （或亠）求概率保证程度F （t）的方法步骤xp第一步：计算抽样指标x （或n）及g （或），推算h （或h）； nxnE xf 即:x咱工(x x )丁:科2=卩（1 - p）重复抽样）:竺（1-N）（不重复抽样）:n
5、NH厂JQ （重复抽样）：42（1一刊（不重复抽样）第二步：根据抽样误差范围Ax （或An）,xn确定总体指标变动的上、下限，即：x Ax （或pAn）；xpA 、 A第三步：根据t =（或t =），计算t,并查表得F （t）。第二套模式：已知概率保证程度F （t），求抽样误差范围Ax （或Ap）的方法步骤xn第一步：计算抽样指标x （或p）及G （或Gp），推算Hx （或Hp）；第二步：根据概率保证程度F （t）查表得概率度t,并根据Ax=tyx （或Ap=typ）计算Ax （或Ap）；第三步：根据抽样指标和误差范围得出总体指标的变动上、下限，即：丁Ax （或pAp）。xp在进行区间估计时应
6、注意的问题：（1）应注意已知条件所符合的模式，若已知抽样误差范围，则按第 一套模式的步骤进行区间估计；若已知概率保证程度，则按第二套模式的步骤进行区间估计。（2）应注意 总体的性属性和研究的目的，来确定该估计是平均数估计还是成数估计。（3）应根据抽样方法不同，来选 择公式正确计算抽样平均误差。第（1）题，学生平均成绩是平均指标，则此题属于均值的区间估计，其步骤为：第一步是根据概率 保证程度F （t）查表得概率度t,并根据Ax=tyx计算Ax；第二步是根据抽样指标和误差范围得出总体指标 的变动上、下限，即：XAxg _ 10 n 50=1.41解题过程：X二75.6G二10A = ty = 2
7、x 1.41 = 2.82xx该校学生考试的平均成绩的区间范围为：x A W X W x + Axx即：72.7878.42。t 2G 222 x102n 二 二二 200(名)A22.82xF即：如果其它条件不变，将允许误差缩小一半，应抽取200 名学生进行调查才能达到要求。x = 560第(2)题，同样属于均值的区间估计，其解题方法与第(1)相同，其参考答案如下：b 二 32.45卩=2 = 3245 = 3.245x n 100A =2 x 3.245 = 6.49xx该企业工人的平均工资的区间范围为：x -A即：553.51 566.49 (元)第(3)题，属于区间的第一步内容，即计算
8、抽样误差，由于是重复抽样，所以按应分别根据重复抽样时均值平均误差的计算公式和成数平均误差的计算公式可分别计算这两个指标。其解题过程如下：平均数的平均误差为：300vn v 400=15成数的平均误差为：:p (1 - P).0.025(1 - 0.025)400= 0.78%第(4)题，产品合格率是成数指标，则此题属于成数的区间估计，其步骤为：第一步是根据抽样数 据计算抽样合格率和合格率的平均误差；第二步根据概率保证程度F(t)查表得概率度t,并根据Ap=tHp计 算Ap；第三步是根据抽样指标和误差范围得出总体指标的变动上、下限，即：PAp。其解题过程如下： 第一步：计算抽样合格率和平均误差：
9、P= 188/200=94%:p (1 - P)；0.94(1 - 0.94)200=1.7%第二步：计算极限误差： Ap =tHp = 2x 0.17 = 3.4%第三步：该产品的合格品率的区间范围为：p-A P p + A即：90.6%97.4%。pp所以，该批产品合格品率的区间为：90.6%97.4%4考题拓展抽样估计在考试中还会以选择题的形式出现，例如1影响抽样误差的影响有( ABCD )。A.抽样调查的组织形式B.抽取样本单位的方法C.总体被研究标志的变异程度D.抽取样本单位数的多少E.总体被研究标志的属性2反映抽样指标与总体指标之间的平均误差程度的指标是（ C ）。A.平均数离差B.概率度C.抽样平均误差D.抽样极限误差3在简单随机重复条件下，当抽样平均误差缩小为原来的1/2 时，则样本单位数为原来的（ C ）A.2 倍B.3 倍C.4 倍D.1/4 倍4在一定的抽样平均误差条件下（ A ）。A.扩大极限误差范围，可以提高推断的可靠程度B扩大极限误差范围，会降低推断的可靠程度C. 缩小极限误差范围，可以提高推断的可靠程度D. 缩小极限误差范围，不改变推断的可靠程度
