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1、精品文档线性回归的显著性检验1.回归方程的显著性在实际问题的研究中, 我们事先并不能断定随机变量 y 与变量 x1, x2 , , xp 之间确有线性关系, 在进行回归参数的估计之前, 我们用多元线性回归方程去拟合随机变量 y 与变量 x1 , x2 , , xp 之间的关系,只是根据一些定性分析所作的一种假设。因此,和一元线性回归方程的显著性检验类似,在求出线性回归方程后,还需对回归方程进行显著性检验。设随机变量 Y 与多个普通变量 x1, x2 , x p 的线性回归模型为Y b0 b1x1bp xp其中服从正态分布 N (0,2 )对多元线性回归方程的显著性检验就是看自变量若接受x1,
2、x2 , x p 从整体上对随机变量 y 是否有明显的影响。为此提出原假设H 0 : b10, b20, bp0如果 H 0 被接受,则表明随机变量y 与 x1 , x2 , x p 的线性回归模型就没有意义。通过总离差平方和分解方法,可以构造对H 0 进行检验的统计量。正态随机变量y1 , y2 , yn 的偏差平方和可以分解为:nnnn( yiy)2( yi y?iy?iy)2( y?iy)2( yi y?i )2i 1i 1i 1i1n2n2ST( yi为总的偏差平方和,SR?为回归平方和,y)( yiy)i 1i 1n?2SE( yi为残差平方和。因此,平方和分解式可以简写为:yi)i
3、 1STSRSE回归平方和与残差平方和分别反映了 b 0 所引起的差异和随机误差的影响。构造 F 检验统计量则利用分解定理得到:QRpFp 1)QE (n.精品文档在正态假设下,当原假设H0: b0, b 0, bp0成立时,F服从自由度为12( p, n p 1) 的 F 分布。对于给定的显著水平,当 F 大于临界值 ( p, np 1) 时,拒绝 H 0 ,说明回归方程显著,x与 y 有显著的线性关系。实际应用中,我们还可以用复相关系数来检验回归方程的显著性。复相关系数 R 定义为:R SR ST平方和分解式可以知道, 复相关系数的取值范围为 0 R 1。R 越接近 1 表明 SE 越小,
4、回归方程拟合越好。2.回归系数的显著性若方程通过显著性检验,仅说明b0 , b1 ,b2 ,bp 不全为零,并不意味着每个自变量对 y 的影响都显著, 所以就需要我们对每个自变量进行显著性检验。若某个系数 bj0 ,则 x j 对 y 影响不显著,因此我们总想从回归方程中剔除这些次要的,无关的变量。检验xi 是否显著,等于假设H 0 j : b j 0, j1,2, , p? NB,2(XX)1,记(XX)1(cij)i , j 0,1,2, p , 可知已知 B?2 , j0,1,2,p, 据此可构造 t 统计量bj Nbj , cij?bjt jc jj其中回归标准差为1n1n?2( yi)2n p 1 iein pyi11 i 1当原假设 H 0j : bj 0 成立时,则 t j统计量服从自由度为 np 1 的 t 分布,给定显著性水平,当 t j t 2 时拒绝原假设H 0 j : b j0 ,认为 x j 对 y 影响显著 , 当t j t 2 时,接受原假设 H 0 j : bj0 ,认为 xj 对 y 影响不显著。.