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1、题 目 基金使用计划摘要本文研究了关于基金使用计划的问题，主要目的在于设计资金的合理安排方法，实现在一定条件下，使用有限的资金合理投资，达到最大的利润。并且我们建立了相应的数学模型对该问题进行分析求解。对于第一问，我们在不影响奖学金发放的情况下，对利率较小的银行存款进行排除，对每年的资金来源进行分析，列出所有可能发生的情况，然后建立一个线性方程组，求出最大奖学金额度，方程组如下：使用软件对其进行编程求解，最后的得出最大奖学金额数为。然而对于第二问，情况与第一问相似，但是又存在不同点，校方允许了购买国库券这种投资方式。经过分析发现，由于国库券的发行不稳定，会产生三种不同的情况。所以我们对这三种情
2、况分别进行分析，运用第一题的思路，根据题目要求同样建立了一个线性方程组（具体方程组见下文）。同样也是使用软件对其进行编程求解。最后得出在第一种情况下，校方每年能够发放的最大奖学金额数为；而第二种方案的最大奖学金额数为；最后第三种方案的最大奖学金额数为第三问比较简单，校方要求第三年的奖金能够多出，但是因为没有规定是只存款不购国库券还是可存款也可购国库券，所以又要分成两个情况去讨论。我们对第一问和第二问中的方程组加以改进（改进方案见下文），将方程组中第三年支出的奖金额数上调，就能够得到满意的答案。最后，还是通过使用软件对其进行编程求解，在第一种情况下，得出的最大奖学金额数为，而第三年百年校庆时的奖
3、学金为；而在第二种情况下，得出的最大奖学金额数为，而第三年百年校庆时的奖学金为。关键词：线性方程组 求解 最优化方案一、问题重述某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。当前银行存款及各期国库券的利率见下表。假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。取款政策参考银行的现行政策。校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。请你帮助校基金会在如下的情况下设计出基金的最合理的使用方案，并且对于给出具体结果： 1、只存款不购国库券；2、可存款也可购国库券。3、学校在基
4、金到位后的第年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多。银行存款税后年利率（%）国库券年利率（%）活期0.792半年期1.664一年期1.800二年期1.9442.55三年期2.1602.89五年期2.3043.14二、模型假设1、每年发放的奖金数额都是相同的。2、不考虑通货膨胀或通货紧缩和国家经济政策对存款利率的影响。3、假设基金在年末到位，奖学金在基金到位后发放。4、假设购买国库券后所得的利息不用支付所得税。5、假设资金到位后，立即进入下一轮的存款，中间无时间间隔。6、假设购买国库券时，能够一次满足所有需求。7、假设购买的国库券到期后，通过投资国库券而取得的资金在同年内不能够再购
5、买购买国库券，必须等到下一年的国库券发行后，才能继续购买。8、假设定期存款如果在没有到期之前取出，就按照活期存款利率计算。三、符号说明第年存入银行年期的存款金额第年购买年期的国库券金额初始本金万每年发放的固定奖金年期的银行存款税后年利率第年年初投入存款的总金额第年年末获得的资金总金额第年年初投入国库券的总金额年期的国库券年利率四、问题分析4.1对问题一的分析在第一问中，校方要求只存款而不购买国库券，为了使得每年年终获得的奖学金最多，那么就必须使得在银行获得利息最大。因此，活期存款和半年期存款因为利率太低，而且如果去除，并不会影响奖学金的发放，所以不予考虑。然后我们经过研究，把每年在存款到期日取
6、出的资金分为：发放奖金、转存到一年期存款、二年期存款、三年期存款、五年期存款这五个款项。通过对这五个款项的分析与求解，求出最大的每年发放的奖学金。4.2对问题二的分析在第二问中，校方要求可以存款也可以购买国库券，但是国库券的购买与直接存款有很大的区别，所以要对第一问中的解法做一些调整。因为同年期的国库券的利率要大于同年期的银行存款利率，所以在选择时，我们优先考虑购买国库券。但是，由于每年发行的国库券的时间和次数不同，所以可能会发生三种情况：一是，国库券在年初准备存钱的时候发行了，我们就在第一题的基础上，将准备存入相应年期存款的资金用于购买同样年期的国库券，然后计算出最大的奖金额。二是，国库券没
7、有在存入资金之前发行，为了不让资金发生闲置，我们设立了另一种解决方案：以二年期的国库券为例：由于在年初年初投放资金时不能购买国库券, 我们先将购买国库券的资金全部用于半年期存款, 如果在该半年内发行了国库券, 我们就将资金全部取出购买国库券, 在国库券到期的那年将本息全部用于半年期存款, 到期后转入活期存款；如果在该半年内没有发行国库券, 我们将半年到期的自己全部用于活期存款，用于购买下半年一定会发行的国库券, 国库券到期之后再全部转入活期存款。因此，我们将其运转周期定为三年, 在这三年里, 不管国库券什么时候发行, 该部分资金一定有两年是用于存国库券, 有半年用于存半年期, 还有半年是存活期
8、。即采用活期、半年期、国库券的“组合式”投资。所以同理，三年期国库券和五年期国库券的周期分别为四年, 六年。而第三种则是第二种情况的特殊化，也就是国库券恰好在年中发行了。而在这种情况下，在国库券发行的前半年，用于购买国库券的资金就可以存入半年期的银行存款；而在国库券到期后，还会有半年的时间，我们就能够将购买国库券后得到的本息再次存入半年期的银行存款中去。这样就是半年期和国库券的“组合式”投资，这样的投资方法会比第二种情况获利更多。然后对这三个情况分别求解，得出每年发放的奖学金。4.3对问题三的分析在第三问中，校方要求第三年的百年校庆中的奖学金能够上涨20%，这个问题比较简单。但是因为没有规定是
9、只存款不购国库券还是可存款也可购国库券，所以又要分成两个情况去讨论。又因为第一种情况与第一问相似，第二种情况与第二问相似，所以只需要在第一问和第二问的基础上对方程进行一部分的改进，将第三年的奖学金上调，从而改为，再利用进行求解。五、模型的建立与求解5.1问题一的模型建立与求解我们对每一年的年末所能够获得的、用于发放奖学金的现金来源进行分析。比如，在第一年的年末，校方所能够提取的现金，只有可能是在第一年年初投入一年期存款的基金的本金和所获得的利息；而在第二年年末，校方所能够提取现金的来源就可能有两个，一是第二年年初投入一年期存款的基金的本金和所获得的利息，二是第一年年初投入二年期存款的基金本金和
10、所获得的利息；而在第三年的年末，校方所能够提取现金的方法就有三种。所以根据上述的思想，我们建立了一个线性方程组，用于求解最大的奖学金额数。该方程组如下：然后我们将数据代入方程组，利用软件对其进行求解（编程代码见附录I），求得答案为（输出结果见附录II）：最大奖学金额数为。而存款方案如下表所示：表1：问题1第年存入年期的金额（万元）第一年第二年第三年第四年第五年第六年第七年第八年第九年第十年一年期396.8000000000二年期200.5000000000三年期195.6195.600000000五年期420798.598.598.598.5458200005.2问题二的模型建立与求解首先对第
11、一种情况进行求解。对于第一种情况，经过分析发现，与第一问十分相似，直接将第一问中的与国库券有着相同年期的银行存款利率改为国库券利率，然后通过运用软件进行编程求解（编程代码见附录I，输出结果见附录II），得出：最大奖学金额数为。而投资方案如下表所示：表2：问题2.1第年存入年期的金额（万元）第一年第二年第三年第四年第五年第六年第七年第八年第九年第十年一年存款277.0000000000二年国库260.5000000000三年国库490.7135.10259.500135.1000五年国库39710126.9126.9044480000然后对第二种情况进行求解。因为国库券的周期与存款不同，所以需要
12、重新进行计算，根据不同的存款利率和国库券利率列出如下的“组合式”购买利率公式：然后根据第一问中的思想建立一个新的线性方程组用于求解最大的奖学金额数。该方程组如下：然后我们将数据代入方程组，利用软件对其进行求解（编程代码见附录I），求得答案为（输出结果见附录II）：最大奖学金额数为。而投资方案如下表所示：表3：2.2第年存入年期的金额（万元）第一年第二年第三年第四年第五年第六年第七年第八年第九年第十年一年存款232.2000125.200000二年存款227.5000000000三年存款222.0000000000五年存款0000000000二年国库0000000000三年国库420900000
13、0000五年国库108.8108.8108.8108.8437700000最后对第三种情况进行分析求解，因为是第二种情况的特殊化，所以只需要在第二问中进行一些改动。由于在第三种情况中，没有活期银行存款的存在，而是变成了两个半年期，所以 “组合式”购买利率发生了改变，更改后的公式为：然后还是根据第二种情况中的线性方程组求解最大的奖学金额数。最后求出的最大奖学金额数为（编程代码见附录I，输出结果见附录II）：表4：2.3第年存入年期的金额（万元）第一年第二年第三年第四年第五年第六年第七年第八年第九年第十年一年存款356.7000000000二年存款234.7000000000三年存款0000000000五年存款0000000000二年国库228.2000000000三年国库4068119.200000000五年国库112.0112.0112.0112.04362000005.3问题三的模型建立与求解对于第三问，由于第三年为百年校庆，所以校方要求当年的奖学金要上调。但是因为没有规定是只存款不购国库券还是可存款也可购国库券，所以又要分成两个情况去讨论。在第一种情况中，我们只存款而不购买国库券，我们将第三年的奖学金发放额改为原来的，对
