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1、平面解析几何基础知识（总12页）-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-内页可以根据需求调整合适字体及大小-07. 直线和圆的方程 知识要点一、直线方程.1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与季由正方向所成的最小正角叫做这条直 线的倾斜角，其中直线与尤轴平行或重合时，其倾斜角为0故直线倾斜角的范围是0。a y 180（0 0）则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程y = kx + b，当k, b均为确定的数值时，它表 示一条确定的直线，如果k,b变化时，对应的直线也会变化.当b为定植，k变 化时，它们表示过定点（0, b）的直线束.当k为定值，b变化时，它们表示 一组平行直线.3
2、. 两条直线平行：l II l ok =k两条直线平行的条件是：l和l是两条不重合的直线.在l1 2 1 2 1 2 1和l的斜率都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个 2“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线l ,l，它们在y轴上的纵截距是b ,b，则1 2 1 2l II l ok =k，且b壬b或l ,l的斜率均不存在，即AB = BA是平行的必要不充1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2分条件，且C丰C12推论：如果两条直线l ,l的倾斜角为a ,a则l II l oa =a .1 2 1 2 1 2 1 2两条直线垂直：两条直线垂直的条
3、件：设两条直线l和l的斜率分别为k和k，则有1 2 1 2l丄l ok k =-1这里的前提是l ,l的斜率都存在/丄l Ok = 0，且l的斜率不1 2 1 2 1 2 1 2 1 2存在或k = 0，且l的斜率不存在.（即A B + A B = 0是垂直的充要条件）2 1 1 2 2 14. 直线的交角：直线l到l的角（方向角）；直线l到l的角，是指直线l绕交点依逆时针方1 2 1 2 1向旋转到与l重合时所转动的角0，它的范围是（0,兀），当0 90。时tan 0= 21+G2两条相交直线l与l的夹角：两条相交直线l与l的夹角，是指由l与l相交 1 2 1 2 1 2所成的四个角中最小的
4、正角0，又称为l和l所成的角，它的取值范围是12,0,当 0工 90。，5. 过两直线l1:A1x+B1y+C1= 0 的交点的直线系方程l2:A2x+B2y+C2=0则有 tan 0 =1 + k k1 2A x + B y +C + 九（A x + B y +C ） = 0（九为参数，A x + B y +C = 0 不包括在内）1 1 1 2 2 2 2 2 26. 点到直线的距离：点到直线的距离公式：设点P（x0,y），直线l: Ax + By + C = 0, P到l的距离为d，则有 d = IAx0+ By0+C A 2 + B 2注：1.两点 P1(x1,y1) P2(x2,y2
5、)的距离公式：I pP2 1= J(x2-x)2 + (y2 - y)2 特例：点P(x,y倒原点0的距离：| OP 1= Jx2 + y22.定比分点坐标分式。若点p（x,y）分有向线段PP所成的比为凋亦PP，其中1 2 1 2P1(x1,y1),P2(x2,y2)则特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。3.直线的倾斜角（0W a 180）、斜率:k = tan a4-过两点P (x , y ),P (x , y )的直线的斜率公式：k = y2 - yi(叫丰x2)1 1 1 2 2 2 x - x1 221当X1 =x2, yi丰y2 (即直线和X轴垂直)时直线的倾斜角a =
6、90。，没有 斜率两条平行线间的距离公式：设两条平行直线11： Ax + By +C1 = 0,l2： Ax + By +C2 = 0(CC2)，它们之间的距离为d，则有d =上匚丄.A 2 + B 2注；直线系方程1. 与直线：Ax+By+C= 0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( mR, CHm).2. 与直线：Ax+By+C= 0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( mGR)3. 过定点(x1,y1)的直线系方程是：A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B不全为0)4. 过直线-、12交点的直线系方程:(A1x+B1y+C1)+入(A2x+B2y+C2)=0 (入GR)
7、 注：该直线系不含 l2.7. 关于点对称和关于某直线对称：关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等. 关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且 两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹 角的角平分线.点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上(方程 )，过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直(方程)可解得所求 对称点.注：曲线、直线关于一直线(y = x+b)对称的解法：y换X，X换y.例：曲 线f(x ,y)=0关于直线y=x-2对称曲线方程是f(y+2 ,x -2)=0
8、. 曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a -x, 2b- y)=0.二、圆的方程.1. 曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线c上的与一个二元方程f (x, y) = 0的实数建立了如下关系： 曲线上的点的坐标都是这个方程的解. 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线(图形) .曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点M(x, y)其坐标与方程f (x, y) = 0的一种关系，曲线上任一点(x, y)是方程f (x, y) = 0的解；反过来，满足方程 f (x, y) = 0的解所对应的点是曲线上的点.注：如果
9、曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P0(x0 ,y)线C上的充要条件是 f(x0 ,y0)=02. 圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(x-a)r =2当D2+E2 4F = 0时，方程表示一个点D，.I 2 2丿 当D2+E2 4F Y 0时，方程无图形(称虚圆). 注：圆的参数方程：$ = a + rC0S( 9为参数).y = b + r sin 9 方程Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的充要条件是：B = 0且A = C丰0且D2+E24AF A 0. 圆的直径或方程：已知 A(x ,y )B(x ,y )n
10、(x-x )(x-x ) + (y -y )(y -y ) = 0 (用向1 1 2 2 1 2 1 2 量可征) . 点和圆的位置关系：给定点m(x0,y0)及圆C : (x-a)2 +(y b)2 =r2 . M 在圆 C 内 o (x0 a)2+(y0 b)2 Yr2 M 在圆 C 上 o(x0 a)2 +(y0 b)2 =r2 M 在圆 C 夕卜 o (x0 a)2 +(y0 b)2 Ar2 直线和圆的位置关系：设圆圆 C : (x a)2 +(y b)2 =r 2(r A 0)；直线 l : Ax + By + C = 0( A 2 + B 2 丰 0);圆心C(a,b)到直线l的距
11、离d =应+ Bb + C .A 2 + B 2 +(y -b)2 =r2 -特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2 + y2=r2 .注：特殊圆的方程：与;轴由相切的圆方程 (x - a )2+(y 土 b)2 =b 2r = |b I,圆心(a, b)或(a,-b) 与y轴相切的圆方程(x 土 a)2 +( y - b) 2 =a 2r = la I,圆心(a, b)或(a, b) 与;轴y轴都相切的圆方程(x土a)2 +(y 土 a)2 =a2r = laL圆心(a,a)3. 圆的一般方程： x2+y2+Dx+Ey+F=0 .当D2+E2 4F A 0时，方程表示一个圆，其中圆
12、心C D ，半径I 22 丿JVD 2+E 2 4 F d = r时，l与C相切；附：若两圆相切，则|X2+y2+% +F 1= 0 =相减为公切线方程.b 2+y 2+D 2 x + E 2 y + F 2 = 0 d Y r时，l与C相交；附：公共弦方程C：设y2+D x + E y + F = 01 丿 1 r 1C2：X2 + y2 + D2X + E2y + F2 0 有两个交点，则其公共弦方程为(D厂D2)x + (E1 -E2)y + (F-F2)= 0 - d Ar时，l与C相离.附：若两圆相离，则|x2+y2+Dix+Eiy +F 1= 0 n相减为圆心OO的连线的中与线 x
13、 2 + y 2 + D 2 x + E 2 y + F 2 = 01 2方程.由代数特征判断：方程组|(x-a)2 +(y -b)2 =r2用代入法，得关于x (或y)的一Ax + Bx + C = 0元二次方程，其判别式为A，贝V：A = 0 o l与C相切；A A 0 o l与C相交； A y 0 o l与C相离.注：若两圆为同心圆则x2+y2+D1x +E1 y +F1= 0，x2+y2+D2x +E2y +F2 = 0相减，不 表示直线.6. 圆的切线方程：圆x2 + y 2=r2的斜率为k的切线方程是y = kx土r过圆x2+y2+Dx+Ey+F = 0上一点 P(x ,y )的切
14、线方程为：x x+y y + D x +x0 + E y + y0 + F = 0 .0 0 0 0 2 2一般方程若点(X0 ,y0)在圆上，则(x- a)(x0 - a)+(y - b)(y0- b)=R2.特别地，过圆 x2+y 2=r2 上一点 P(x0,y的切线方程为 xx + yy =r2 若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则y 1- y 0 = k(x 1- x0)b -y -k(a -x )|，联立求出 k nR =11R 2 + 1程.7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程.如图：ABCD四类共圆.已知00的方程x2+y2+Dx + Ey + F = 0又以ABCD为圆为方程为(x -x)(x - a) + (y -y a )(x - b) =k 2 R2 = (-)2 +(儿旳2，
