一维优化方法

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1、(8-1)(8-2)最优化设计数学模型中的基本概念：1、设计变量在机械设计中，区别不同的设计方案，通常是以一组取值不同的参数来表示。 这些参数可以是表示构件形状、大小、位置等的几何量，也可以是表示构件质量、 速度、加速度、力、力矩等的物理量。在构成一项设计方案的全部参数中，可能 有一部分参数根据实际情况预先确定了数值，它们在优化设计过程中始终保持不 变，这样的参数称为给定参数(或叫预定参数)或设计常数。另一部分参数则是需 要优选的参数，它们的数值在优化设计过程中则是需要优选的参数，它们的数值 在优化计算过程中是变化的，这类参数称为设计变量，它相当于数学上的独立自 变量。一个优化问题如果有n个设

2、计变量，而每个设计变量用x (i二1,2,n)表i示，则可以把n个设计变量按一定的次序排列起来组成一个列阵或行阵的转置, 即写成x1xX =2我们把x定义为n维欧式空间的一个列向量，设计变量x ,x，,x为向量X 12 n的n个分量。以设计变量x ,x，,x为坐标轴展成的空间称为n维欧式空间，用12 nRn表示。该空间包含了该项设计所有可能的设计方案，且每一个设计方案就对 应着设计空间上的一个设计向量或者说一个设计点X。2、目标函数 优化设计是在多种因素下欲寻求使设计者员满意、且适宜的一组参数。“最 满意”、“最适宜”是针对某具体的设计问题，人们所追求的某一特定目标而言。 在机械设计中，人们总

3、希望所设计的产品具有最好的使用性能、体积小、结构紧 凑、重量最轻和最少的制造成本以及最多的经济效益，即有关性能指标和经济指 标方面最好。在优化设计中，一般将所追求的目标(最优指标)用设计变量的函数形式表达， 称该函数为优化设计的目标函数。目标函数的值是评价设计方案优劣程度的标准 也可称为准则函数。建立这个函数的过程称为建立目标函数。一般的表达式为F (x)二 F (x , x，,x )12 n它代表着某项重要的特征，例如机器的某种性能、体积、质量、成本、误差、 效率等等。目标函数是设计变量的标量函数。优化设计的过程就是通过优选设计变量使目标函数达到最优值，最优值的数学表征为最小值min F(x

4、)或最大值max F(x)。按一般的规范做法，把优化问题归结为求目标函数值的最小值居多。在求解过程 中，目标函数值越小，设计方案越优。对于某些追求目标函数最大值的问题，例 如前述求月生产利润最大的问题或谋求设计的效率最高、寿命最长等等，可转化 为求目标函数负值的最小值问题，即max F(x) n min-F(x)(8-3)因此，本章在后面的叙述中，一律把优化问题规范为求目标函数的最小值， 表达式见式(8-2)。在优化设计中，仅根据一项准则建立的一个目标函数，称为单 目标函数。如前面举例中的生产调度问题中，为了实现单月生产利润最大化而建 立的目标函数即属于单目标优化设计问题。若在设计中需要同时兼

5、顾多个设计准 则，则需要建立多个目标函数，这种问题即为多目标优化问题。在解决优化设计问题时，正确选择目标函数是非常重要的，它不仅直接影响 优化设计的结果，而且对整个优化计算的繁简难易也会有一定的影响。3、约束条件与可行域优化设计不仅要使所选择方案的设计指标达到最佳值，同时还必须满足一些 附加的设计条件，这些附加的设计条件都是对设计变量取值的限制，在优化设计 中叫做设计约束或约束条件。它的表现形式有两种，一种是不等式约束，即g (x) 0u另一种是等式约束，即h (x)二 0v 二 1,2, , p nv式中g (x)和h (x)分别为设计变量的函数；m和p分别表示不等式约束和 uv等式约束的个

6、数，而且等式约束的个数p必须小于设计变量的个数n。因为从理论上讲，存在一个等式约束就得以用它消去一个设计变量，这样便可降低优化设计问题的维数。所以，当p = n时，即可由p个方程组中解得唯一的一组x ,x ,x值。这样，方案的选择就成为唯一的或确定的了。12 n在解决工程问题时，约束条件是优化设计获得工程可接受设计方案的重要条件。不等式约束及其有关概念，在优化设计中是相当重要的。每一个不等式约束(如g(x) 0 )都把设计空间划分成两部分，一部分是满足该不等式约束条件的,即g(x) 0。两部分的分界面叫做约束面，即 由g(X)二0的点集构成。在二维设计空间中约束面是一条曲线或直线，在三维以 上

7、的设计空间中则是一个曲面或超曲面。一个优化设计问题的所有不等式约束的 边界将组成一个复合约束边界，如图8-3 表示了一个二维问题的情况。其约束边 界所包围的区域(图中阴影线内)是设计空间中满足所有不等式约束条件的部分， 在这个区域中所选择的设计变量是允许采用的，我们称这个区域为设计可行域或 简称为可行域，记作D =兀|g (X) 0u = 1,2,m)u若某项设计中除了具有m个不等式约束条件外，还应满足p个等式约束条件 时，即对设计变量的选择又增加了限制。如图8-3 所示，当有一个等式约束条件 h(x ,x )二0时，其可行设计方案只允许在D域内的等式函数曲线的AB段上选择。12 因此，在一般

8、的情形下，优化问题的设计可行域可表示为g (x) 0 u = 1,2,，m 、D = h (x) = 0 v = 1,2,，p n 0。2二、优化计算的数值解法及收敛条件最优化技术总体包含两个方面，首先是根据实际的生产或科技问题构造出优 化的数学模型，再采取恰当的优化方法对数学模型进行求解。无论是无约束优化 问题还是约束优化问题，其本质上都是求极值的数学问题。从理论上，其求解可 用解析法，即微积分学和变分法中的极值理论，但由于实际中的优化数学模型多 种多样，往往目标函数及约束函数都是非线性的，采用解析法求解变得非常复杂 和困难，甚至在有些时候无法求解数学模型。因此，随着优化技术和电子计算机 技

9、术的不断发展，逐渐产生了以计算机程序计算为主的一种更为实用的求优方法 数值计算法，通常也称为求解非线性规划的最优化方法。1、数值计算法的迭代过程最优化方法是与电子计算机及计算技术的发展紧密相联系的，数值计算法的 迭代过程也是依赖于计算机的运算特点而形成的。所以，计算过程完全有别于解 析法的求解过程。优化方法的迭代特点是：按照某种人为规定的逻辑结构，以一 定的格式反复的数值计算，寻求函数值逐次下降的设计点，直到满足规定的精度 时才终止迭代计算，最后的设计点即为欲求的最优点，所得到的解是满足规定精 度的近似解。总体做法如图8-9所示，由选定的初始点x(0)出发，沿着某种优化方法所规定的搜寻方向s(

10、0)，以一定的步长a(0)，按迭代格式产生第一个新的设计点x，x (1) = x (0) +a (0) s (0)，且同时满足 F (x (1) F (x (0)，则 x(i)是优于 X (0)的设计点。同理，再以x(1)为新的起点，按照相同的格式产生第二个设计点x，x(2) = x(1) +a (1)s(1)。这样，依次得到的设计点x(1),x(2),x，,x(k),x(k+1)，称为计 算中的迭代点，产生迭代点的一般格式为x(k+1) = x(k) +a (k)s(k)(8-4)式(8-4)称为优化计算的基本迭代公式。其中的第k次搜寻方向s(k)及步长a (k)是根据x (k)点目标函数值

11、和约束函数值等信息依据某种算法而确定的，其最 终目的是使F(x(k) F(x) (x) F(x(k) 很显然，迭代点必将不断向理论最优点 逼近，最后必将达到满足预定精度要求的近似最优点，记作 x*。由迭代算法的基本迭代公式可见，优化方法的主要问题乃是解决迭代方向 s(k)(k二1,2,)和迭代步长a (k)(k二1,2,)的问题，由于s(k)与a (k)的确定方法及 特性的不同而构成了不同的优化方法，即最优化方法。已有的各种优化方法尽管 在选取方向和步长的原则上各有不同，但有一点是共同的，就是各种方法都是以 保证目标函数值稳定的下降为前提，按照基本迭代公式通过计算机进行迭代计算 并最终获得理论

12、最优点的近似解。2、迭代计算的终止准则数值计算采用迭代法产生设计点的点列x,X,x，,x(k),x(k+1)，是无穷 的，但在解决实际问题的时候必须在适当的时候结束这种迭代计算，这就是迭代 终止准则问题。优化设计是要求出设计问题的最优解，从理论上，人们当然希望最终迭代点 到达理论的极小点，或者使最终迭代点与理论极小点之间的距离足够小时即可终 止迭代。但这在实际计算中是办不到的，因为对于一个待求的优化问题，其理论 极小点在哪里是未知的。因此，只能通过迭代计算获得的点列所提供的各种信息 来判断是否应该结束迭代计算，不同的判断依据就构成了不同的终止准则。由于实际问题具有多样性，且迭代过程与目标函数的

13、性质密切相关，所以很 难建立一个统一的迭代终止准则，往往还需要根据实际计算的具体情况进行判断 和选择。经常被采用的终止准则如下：3、点距准则若相邻的两个迭代点x(k)、x(k一 1)之间的距离已达到充分小，即满足|x(k) x(k-11 式中是给定的收敛精度，取x (k)为最优点，即x(k)= x *。14、函数下降量准则由于最优点的很小邻域里函数值的变化很小，所以当相邻两次迭代点的函数 值下下降量已达到充分小时，预示着已很接近最优点了当F(x(k) 1时，采用函数值绝对下降量准则F(x(k) F(x(k-1) 1时，采用函数相对下降量准则F(x(k) 一 F(x(k-1) F(x(k)2其中

14、 ,为收敛精度，取x(k)为最优点，即x(k) = x *。125、梯度准则按函数极值理论，在极值点处函数的梯度为零。当目标函数在x(k)点处的梯 度的模已达到充分小时，即|VF(x(k)| 可以认为x*沁x(k)，是收敛精度。这一准则对凸集凸函数是完全正确的，1若为非凸函数，有可能会误把鞍点当作最优点。(8-5)(8-6)(8-7)(8-8)上述准则是无约束优化问题迭代收敛准则。由于约束优化问题与无约束优化 问题的最优解的条件不同，所以迭代终止准则也不一样，但以上各终止准则对约 束优化问题的求解仍然有着重要的意义。一维优化方法求解以为目标函数f（X）最优解的过程，称为一维优化，所使用的方法称为 一维优化方法。一维优化方法是优化方法中最简单、最基本的优化方法。他不仅 用来解决一维目标函数的求最优问题，而且常用于多维优化问题在既定方向上寻 求最优步长的一维搜索。对于任一次迭代计算，总是希望从已知的点X（k）出发，沿给定的方向S（k）搜索 该方向上到目标函数值最小的点X（k+1），即求步长因子（k