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1、1.1.2 集合间的基本关系整体设计教学分析课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发,通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系,同时,结合相关内容介绍子集等概念.在安排这部分内容时,课本注重体现逻辑思考的方法,如类比等.值得注意的问题:在集合间的关系教学中,建议重视使用Venn图,这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念;随着学习的深入,集合符号越来越多,建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号,例如与的区别.三维目标1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,能判断给定集合间的关系,提高利用类比发现新结论的能力.2.在具体情境中,了解空集的含义,掌握并能使
2、用Venn图表达集合的关系,加强学生从具体到抽象的思维能力,树立数形结合的思想.重点难点教学重点:理解集合间包含与相等的含义.教学难点:理解空集的含义.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.实数有相等、大小关系,如5=5,53等等,类比实数之间的关系,你会想到集合之间有什么关系呢？(让学生自由发言,教师不要急于作出判断,而是继续引导学生)欲知谁正确,让我们一起来观察、研探.思路2.复习元素与集合的关系属于与不属于的关系,填空:(1)0N;(2)2Q;(3)-1.5R.类比实数的大小关系,如57,22,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？(答案：(1);(2);(3)推进新课新知探究提出问题(
3、1)观察下面几个例子:A=1,2,3,B=1,2,3,4,5;设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B为这个班学生的全体组成的集合;设C=x|x是两条边相等的三角形,D=x|x是等腰三角形;E=2,4,6,F=6,4,2.你能发现两个集合间有什么关系吗？(2)例子中集合A是集合B的子集,例子中集合E是集合F的子集,同样是子集,有什么区别？(3)结合例子,类比实数中的结论:“若ab,且ba,则a=b”,在集合中,你发现了什么结论?(4)按升国旗时,每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内,从楼顶向下看,每位同学是哪个班的,一目了然.试想一下,根据从楼顶向下看的,要想直观表示集合
4、,联想集合还能用什么表示？(5)试用Venn图表示例子中集合A和集合B.(6)已知AB,试用Venn图表示集合A和B的关系.(7)任何方程的解都能组成集合,那么x2+1=0的实数根也能组成集合,你能用Venn图表示这个集合吗？(8)一座房子内没有任何东西,我们称为这座房子是空房子,那么一个集合没有任何元素,应该如何命名呢？(9)与实数中的结论“若ab,且bc,则ac”相类比,在集合中,你能得出什么结论?活动：教师从以下方面引导学生:(1)观察两个集合间元素的特点.(2)从它们含有的元素间的关系来考虑.规定:如果AB,但存在xB,且xA,我们称集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA).(3)实
5、数中的“”类比集合中的.(4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的,学生看成集合中的元素,从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内.教师指出:为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.(5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等,没有限制.(6)分类讨论:当AB时,AB或A=B.(7)方程x2+1=0没有实数解.(8)空集记为,并规定:空集是任何集合的子集,即A;空集是任何非空集合的真子集,即A(A).(9)类比子集.讨论结果：(1)集合A中的元素都在集合B中;集合A中的元素都在集合B中;集合C中的元素都在集合D中;集合E中的元素都在集合F中.可以发现
6、:对于任意两个集合A,B有下列关系:集合A中的元素都在集合B中;或集合B中的元素都在集合A中.(2)例子中AB,但有一个元素4B,且4A;而例子中集合E和集合F中的元素完全相同.(3)若AB,且BA,则A=B.(4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合.(5)如图1121所示表示集合A,如图1122所示表示集合B.图1-1-2-1图1-1-2-2(6)如图1-1-2-3和图1-1-2-4所示.图1-1-2-3图1-1-2-4(7)不能.因为方程x2+1=0没有实数解.(8)空集.(9)若AB,BC,则AC;若AB,BC,则AC.应用示例思路11.某工厂生产的产品在重量和长度上都合格
7、时,该产品才合格.若用A表示合格产品的集合,B表示重量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合.已知集合A、B、C均不是空集.(1)则下列包含关系哪些成立？AB,BA,AC,CA.(2)试用Venn图表示集合A、B、C间的关系.活动：学生思考集合间的关系以及Venn图的表示形式.当集合A中的元素都属于集合B时,则AB成立,否则AB不成立.用相同的方法判断其他包含关系是否成立.教师提示学生以下两点:(1)重量合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定重量合格;长度合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定长度合格.(2)根据集合A、B、C间的关系来画出Venn图.解：(1)包含关系成立的
8、有:BA,CA.(2)集合A、B、C间的关系用Venn图表示,如图1-1-2-5所示.图1-1-2-5变式训练课本P7练习3.点评：本题主要考查集合间的包含关系.其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么.判断两个集合A、B之间是否有包含关系的步骤是:先明确集合A、B中的元素,再分析集合A、B中的元素之间的关系,得:当集合A中的元素都属于集合B时,有AB;当集合A中的元素都属于集合B,当集合B中至少有一个元素不属于集合A时,有AB;当集合A中的元素都属于集合B,并且集合B中的元素也都属于集合A时,有A=B;当集合A中至少有一个元素不属于集合B,并且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时,有AB,
9、且BA,即集合A、B互不包含.2.写出集合a,b的所有子集,并指出哪些是它的真子集.活动：学生思考子集和真子集的定义,教师提示学生空集是任何集合的子集,一个集合不是其本身的真子集.按集合a,b的子集所含元素的个数分类讨论.解：集合a,b的所有子集为,a,b,a,b.真子集为,a,b.变式训练2007山东济宁一模,1 已知集合P=1,2,那么满足QP的集合Q的个数是( )A.4 B.3 C.2 D.1分析:集合P=1,2含有2个元素,其子集有22=4个,又集合QP,所以集合Q有4个.答案：A点评：本题主要考查子集和真子集的概念,以及分类讨论的思想.通常按子集中所含元素的个数来写出一个集合的所有子
10、集,这样可以避免重复和遗漏.思考:集合A中含有n个元素,那么集合A有多少个子集？多少个真子集？解：当n=0时,即空集的子集为,即子集的个数是1=20;当n=1时,即含有一个元素的集合如a的子集为,a,即子集的个数是2=21;当n=2时,即含有一个元素的集合如a,b的子集为,a,b,a,b,即子集的个数是4=22.集合A中含有n个元素,那么集合A有2n个子集,由于一个集合不是其本身的真子集,所以集合A有(2n-1)个真子集.思路21.2006上海高考,理1已知集合A=-1,3,2m-1,集合B=3,m2.若BA,则实数m=_.活动：先让学生思考BA的含义,根据BA,知集合B中的元素都属于集合A,
11、集合元素的互异性,列出方程求实数m的值.因为BA,所以3A,m2A.对m2的值分类讨论.解：BA,3A,m2A.m2=-1(舍去)或m2=2m-1.解得m=1.m=1.答案：1点评：本题主要考查集合和子集的概念,以及集合元素的互异性.本题容易出现m2=3,其原因是忽视了集合元素的互异性.避免此类错误的方法是解得m的值后,再代入验证.讨论两集合之间关系时,通常依据相关的定义,观察这两个集合元素的关系,转化为解方程或解不等式.变式训练已知集合M=x|2-x2,由于NM,则N=或N,要对集合N是否为空集分类讨论.解：由题意得M=x|x2,则N=或N.当N=时,关于x的方程ax=1中无解,则有a=0;
12、当N时,关于x的方程ax=1中有解,则a0,此时x=,又NM,M.2.0a.综上所得,实数a的取值范围是a=0或0a,即实数a的取值范围是a|0a2.(1)分别写出下列集合的子集及其个数:,a,a,b,a,b,c.(2)由(1)你发现集合M中含有n个元素,则集合M有多少个子集？活动：学生思考子集的含义,并试着写出子集.(1)按子集中所含元素的个数分类写出子集;(2)由(1)总结当n=0,n=1,n=2,n=3时子集的个数规律,归纳猜想出结论.答案：(1)的子集有:,即有1个子集;a的子集有:、a,即a有2个子集;a,b的子集有:、a、b、a,b,即a,b有4个子集;a,b,c的子集有:、a、b
13、、c、a,b、a,c、b,c、a,b,c,即a,b,c有8个子集.(2)由(1)可得:当n=0时,有1=20个子集;当n=1时,集合M有2=21个子集;当n=2时,集合M有4=22个子集;当n=3时,集合M有8=23个子集;因此含有n个元素的集合M有2n个子集.变式训练已知集合A2,3,7,且A中至多有一个奇数,则这样的集合A有( )A.3个 B.4个 C.5个 D.6个分析:对集合A所含元素的个数分类讨论.A=或2或3或7或2,3或2,7共有6个.答案：D点评：本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力.集合M中含有n个元素,则集合M有2n个子集,有2n-1个真子集,记住这个结论,可
14、以提高解题速度.写一个集合的子集时,按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗漏现象.知能训练课本P7练习1、2.【补充练习】1.判断正误:(1)空集没有子集. ( )(2)空集是任何一个集合的真子集. ( )(3)任一集合必有两个或两个以上子集. ( )(4)若BA,那么凡不属于集合A的元素,则必不属于B. ( )分析:关于判断题应确实把握好概念的实质.解：该题的5个命题,只有(4)是正确的,其余全错.对于(1)、(2)来讲,由规定:空集是任何一个集合的子集,且是任一非空集合的真子集.对于(3)来讲,可举反例,空集这一个集合就只有自身一个子集.对于(4)来讲,当xB时必有xA,则xA时也必有xB.2.集合A=x|-1x3,xZ,写出A的真子集.分析:区分子集
