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1、专业好文档离散数学试题(A卷及答案）一、证明题（10分）1)(P(QR)(QR)(PR)R证明: 左端(PQR)(QP)R)(PQ)R)(QP)R)(PQ)R)(QP)R)(PQ)(QP)R(PQ)(PQ)RTR(置换)R2)$x(A(x)B(x) xA(x)$xB(x)证明 ：$x(A(x)B(x)$x(A(x)B(x)$xA(x)$xB(x)xA(x)$xB(x)xA(x)$xB(x)二、求命题公式(P(QR)(PQR)的主析取范式和主合取范式（10分）证明：(P(QR)(PQR)(P(QR)(PQR)（P(QR)）(PQR)(PQ)(PR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR
2、)(PQR)m0m1m2m7M3M4M5M6三、推理证明题（10分）第 12 页 共 12 页1） CD, (CD) E, E(AB), (AB)(RS)RS证明：(1) (CD)E (2) E(AB) (3) (CD)(AB)(4) (AB)(RS) (5) (CD)(RS) (6) CD (7) RS2) x(P(x)Q(y)R(x)，$xP(x)Q(y)$x(P(x)R(x)证明（1）$xP(x)(2)P(a)(3)x(P(x)Q(y)R(x)(4)P(a)Q(y)R(a)(5)Q(y)R(a)(6)Q(y)(7)R(a)(8)P(a)(9)P(a)R(a)(10)$x(P(x)R(x)
3、(11)Q(y)$x(P(x)R(x)四、设m是一个取定的正整数，证明：在任取m1个整数中，至少有两个整数，它们的差是m的整数倍证明 设，为任取的m1个整数，用m去除它们所得余数只能是0，1，m1，由抽屉原理可知，这m1个整数中至少存在两个数和，它们被m除所得余数相同，因此和的差是m的整数倍。五、已知A、B、C是三个集合，证明A-(BC)=(A-B)(A-C) （15分）证明 x A-（BC） x Ax（BC） x A（xBxC） （x AxB）（x AxC） x（A-B）x（A-C） x（A-B）（A-C）A-（BC）=（A-B）（A-C）六、已知R、S是N上的关系，其定义如下：R=| x,
4、yNy=x2，S=| x,yNy=x+1。求R-1、R*S、S*R、R1,2、S1,2（10分）解：R-1=| x,yNy=x2，R*S=| x,yNy=x2+1，S*R=| x,yNy=（x+1）2，七、若f:AB和g:BC是双射，则（gf）-1=f-1g-1（10分）。证明：因为f、g是双射，所以gf：AC是双射，所以gf有逆函数（gf）-1：CA。同理可推f-1g-1：CA是双射。因为f-1g-1存在z（g-1f-1）存在z（fg）gf（gf）-1,所以（gf）-1=f-1g-1。R1,2=,，S1,2=1,4。八、（15分）设是半群，对A中任意元a和b，如ab必有a*bb*a，证明：(
5、1)对A中每个元a，有a*aa。(2)对A中任意元a和b，有a*b*aa。(3)对A中任意元a、b和c，有a*b*ca*c。证明 由题意可知，若a*bb*a，则必有ab。(1)由(a*a)*aa*(a*a)，所以a*aa。(2)由a*(a*b*a)(a*a)*(b*a)a*b*(a*a)(a*b*a)*a，所以有a*b*aa。(3)由(a*c)*(a*b*c)(a*c*a)*(b*c)a*(b*c)(a*b)*c(a*b)*(c*a*c)(a*b*c)*(a*c)，所以有a*b*ca*c。九、给定简单无向图G，且|V|m，|E|n。试证：若n2，则G是哈密尔顿图 证明 若n2，则2nm23m6
6、 （1）。若存在两个不相邻结点、使得d()d()m，则有2nm(m2)(m3)mm23m6，与（1）矛盾。所以，对于G中任意两个不相邻结点、都有d()d()m，所以G是哈密尔顿图。离散数学试题(B卷及答案）一、证明题（10分）1)(PQ)(P(QR)(PQ)(PR)T证明 左端(PQ)(P(QR)(PQ)(PR)(摩根律) (PQ)(PQ)(PR)(PQ)(PR)(分配律) (PQ)(PR)(PQ)(PR) (等幂律) T(代入)2)x(P(x)Q(x)xP(x)x(P(x)Q(x)证明 x(P(x)Q(x)xP(x)x(P(x)Q(x)P(x)x(P(x)Q(x)P(x)x(P(x)Q(x)
7、xP(x)xQ(x)x(P(x)Q(x)二、求命题公式(PQ)(PQ) 的主析取范式和主合取范式（10分）解：(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ) (PPQ)(QPQ)(PQ)M1m0m2m3三、推理证明题（10分）1)(P(QS)(RP)QRS证明：（1）R 附加前提(2)RP P(3)P T(1)(2),I(4)P(QS) P(5)QS T(3)(4),I(6)Q P(7)S T(5)(6),I(8)RS CP2) x(P(x)Q(x)，xP(x)$x Q(x)证明：(1)xP(x) P(2)P(c) T(1),US(3)x(P(x)Q(x) P(4)P(c)Q
8、(c) T(3),US(5)Q(c) T(2)(4),I(6)$x Q(x) T(5),EG四、例5在边长为1的正方形内任意放置九个点，证明其中必存在三个点，使得由它们组成的三角形（可能是退化的）面积不超过1/8（10分）。证明：把边长为1的正方形分成四个全等的小正方形，则至少有一个小正方形内有三个点，它们组成的三角形（可能是退化的）面积不超过小正方形的一半，即1/8。五、已知A、B、C是三个集合，证明A(BC)=(AB)(AC) （10分）证明：x A（BC） x Ax（BC） x A（xBxC）（ x AxB）（x AxC） x（AB）x AC x（AB）（AC）A（BC）=（AB）（AC
9、）六、p=A1，A2，An是集合A的一个划分，定义R=|a、bAi，I=1，2，n，则R是A上的等价关系（15分）。证明：aA必有i使得aAi，由定义知aRa，故R自反。a,bA，若aRb ，则a,bAi，即b,aAi，所以bRa，故R对称。a,b,cA，若aRb 且bRc，则a,bAi及b,cAj。因为ij时AiAj=F，故i=j，即a,b,cAi，所以aRc，故R传递。总之R是A上的等价关系。七、若f:AB是双射，则f-1:BA是双射（15分）。证明: 对任意的xA，因为f是从A到B的函数，故存在yB，使f，f-1。所以,f-1是满射。对任意的xA，若存在y1,y2B，使得f-1且f-1,
10、则有f且f。因为f是函数，则y1=y2。所以，f-1是单射。 因此f-1是双射。八、设是群，和是的子群，证明：若ABG，则AG或BG（10分）。证明 假设AG且BG，则存在aA，aB，且存在bB，bA（否则对任意的aA，aB，从而AB，即ABB，得BG，矛盾。）对于元素a*bG，若a*bA，因A是子群，a-1A，从而a-1 * (a*b)b A，所以矛盾，故a*bA。同理可证a*bB，综合有a*bABG。综上所述，假设不成立，得证AG或BG。九、若无向图G是不连通的，证明G的补图是连通的（10分）。证明 设无向图G是不连通的，其k个连通分支为、。任取结点、G，若和不在图G的同一个连通分支中，则
11、，不是图G的边，因而，是图的边；若和在图G的同一个连通分支中，不妨设其在连通分支（1）中，在不同于的另一连通分支上取一结点，则，和，都不是图G的边，因而，和，都是的边。综上可知，不管那种情况，和都是可达的。由和的任意性可知，是连通的。一、 选择题.(每小题2分，总计30) 1. 给定语句如下：（1）15是素数（质数）（2）10能被2整除，3是偶数。（3）你下午有会吗？若无会，请到我这儿来！（4）2x+30.（5）只有4是偶数，3才能被2整除。(6)明年5月1日是晴天。以上6个语句中，是简单命题的为（A）,是复合命题的为（B）,是真命题的为（C）,是假命题的是（D）,真值待定的命题是（E）A: (1)(3)(4)(6) (1)(4)(6) (1)（6） B: (2)(4) (2)(4)(6) (2)(5)C: (1)(2)(5)(6) 无真命题 （5） D: (1)(2) 无假命题 (1)(2)(4)(5)E: (4
