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1、第七章 液体在缝隙中的流动在液压传动和机械润滑等方面，经常需要利用缝隙流的理论计算泄漏量和阻力损失。 凡有相对运动的两个零件或零件间，必然有一定的间隙（或称缝隙），如活塞与缸筒间的环 形缝隙、轴与轴承间的环形缝隙、工作台与导轨间的平面缝隙，圆柱与支承面间的端面间隙 等等。这些间隙确定的合理直接影响到机械的性能。缝隙流动对液压传动的影响尤其显著。 油泵、油马达、换向阀等液压元件处处存在着缝隙流动问题。缝隙过小则增加了摩擦，缝隙 过大又增加了泄漏。因此，正确分析液体在缝隙中的流动情况，合理地确定间隙的大小，是 非常重要的问题。下面就平行平面缝隙、环形缝隙以及环形平面缝隙等分别加以研究。7.1 流经
2、平行平面的流动两平行平面夹成的缝隙称为平行平面缝隙，沿缝隙宽度上各流线互相平行的流动称为 平行流动。在液压技术上，齿轮泵齿顶与泵壳之间的流动，滑块与滑动导轨之间的流动等，均属 于这种流动。由于液体都有一定的粘性，而间隙很小，故雷诺数一般低于临界值，液压传动装置中 的平面缝隙的雷诺数均在10002000以下，故属于层流。设有两块平行平面相距h,长度为1,宽度为b, h b ； b 仁 其间充满油液从一端向另一端流动。在缝隙流中取一微元流体bdxdy，作用其上的各种力如图7-1所示。在缝隙流中设直角坐标如图7-1,于是沿流动方向（x轴）可列出力的平衡方程如下QpQppbdy - p + dx bd
3、y +Tbdx - t+ dy bdx = 0IQx丿IQy丿化简后得Qp QT=（7.1.1）Qx Qy由于平行平面流动的p仅是x、t仅是y的函数，故上式可改写为dTdp=（7.1.2）dydx根据牛顿内摩擦定律有duT = U -dy7.1.3)7.1.4)dTd 2u=卩 dydy 2d2% _ 1 dpdy2 卩 dx式中，丁为压力在X轴方向的变化率，如果沿缝隙长度1的压力降为Ap，则 dxdp _ Apdx ld 2u Ap_(7.1.5)dy 2卩 l将上式对y进行两次积分可得Apu _ y2 + C y + C(7.1.6)2 r /12式中， C1、C2 为积分常数，由边界条件
4、确定。711两平行平面不动，Ap丰0如图7-1所示，当两平行平面不动，Ap丰0( p p)，即靠两端的压力差来产生12 hh 流动的，为压差流或泊肃叶流。这种流动的边界条件是y _+ 2时，u _ 0； y _ 2时， u _ 0，分别代入式(7.1.6)，解联立方程可得相应的两个积分常数C _01C _也228 r lu_将 C1 和 C2 的值代入式(7.1.6)得7.1.6)上式说明，在平行平面中间，任意过水断面上的速度 u 是按抛物线规律分布的(如图 7-2)。y _ 0处有最大流速u为max7.1.8)y2 dy丿u _Aph 2max8r l通过缝隙的流量为Q J:ubdy _ 空
5、卜fh 2h2 r l h 2 2bh3121 p7.1.9)缝隙断面上的平均流速V应为bhh2121 p7.1.10)平均流速与最大流速之比v2max =v 37.1.11)由式（7.1.10）流体流过缝隙的压力降（压力损失）.12 卩 lvAp =h2如以九代表阻力系数，P代表液体密度，则上式可写为7.1.12)九 l PV22h T7.1.13)从式（7.1.12）和式（7.1.13）可知“兰Re7.1.14)2 Pvh 2vh式中，Re为雷诺数，Re =卩 V712上平面以速度U移动，下平面固定不动，Ap = 0如图7-3所示，当上平面以恒速度U移动，下平面不动，Ap = 0（ Pi
6、= P 2），即靠上平面移动而产生流动的，称为剪切流或库艾特流。这时边界条件为hy = + 2 时,hy = _ 2 时,分别代入式（7.1.6），解联立方程可得相应的两个积分常数为C= UhU+A27.1.15)上式表明，在两个平行平面之间的流体层流运动，其速度按直线规律分布。如图 7-3 所示。流经缝隙的流量为Q J+2ubdy b J+2U_ h_ h 22 2Q - bUh27.1.16)7.1.3上平面以速度U移动，下平面不动，Ap丰0当上平面以恒速度U移动下平面不动，Ap丰0 ( pi P 2或P1 P J即前述压差流与剪切流叠加的情况。如图7-4 所示。这时的边界条件为h y +
7、 时，hy _ 2 时分别代入式( 7.1.6)，解联立方程可得相应的两个积分常数为c - U1u Uu0将 C1 和 C2 的值代入式(7.1.6 )得Apf h 2)f UU )u 一_ y22Rl4(丿(h2丿流量为Q J+ ；ubdy f Ap U h b_ h(12 R l 2 丿2式中 “+”表示上平面移动方向与液体的流动方向相同;“”表示上平面移动方向与液体的流动方向相反。7.1.17)7.1.18)由图 7-4 可以看出，这种平面之间的流速分布规律正是前面两种速度分布的合成。7.2 流经倾斜平面缝隙的流动两平面互不平行，流道高度沿流道方向缓慢变化，形成锲形缝隙，缝隙的高度逐渐减
8、小的缝隙为渐缩缝隙，缝隙高度逐渐增大的缝隙为渐扩缝隙。图7-5所示，设倾斜平面缝隙入口处的高度为h，压力为p ；出口处的高度为h ,1 1 2压力为P，上平面静止，下平面以恒速U移动。将坐标原点置于缝隙入口处，研究一距2原点为x,长为dx，高为h的微元缝隙。由于dx很小，故可认为此微元缝隙为平行平面缝隙即等高缝隙，因此式（7.1.4）仍成立，即d2u _ 1 dpdy2卩 dx将上式对y进行积分，则得Apu _ y2 + Cy + C（7.2.1）2 卩 l12从图 7-5 可以看出其边界条件为y _ 0 时， u _ Uy _ h 时， u _ 0分别代入式（721）,解联立方程求得C1和C
9、2后再代入（721）,得7.2.2)u _ U 1 -丄I h丿通过的流量Q _ J hubdy _ bhU02bh 3 dp12 卩 dx7.2.3)从而就有由于dp _ 6pU 12yQdxh 2bh37.2.4)h _ h + x sin a1式中， a 为上平面对下平面的倾角。 所以dx _1dhtanal _ (h h )tan a21dp = - I2 临 dh - 6 PUbh3 tanadhh 2 tan a得b tan a h 26 pU 1 (tana h h17.2.5)积分，并利用边界条件确定积分常数利用边界条件当h = hi时，p = p2可得p 二p +6临21b
10、tan a I h 226pU 11(tana hh217.2.6)h2 一 h26pU h 一 h+ 2 + 12tan a h h127.2.7)b h 2 h 2bh hQ =1_ Ap +U6pl h + h h + h1 2 1 2如果上下平板均固定不动，式（7.2.5）、（7.2.7）及（7.2.8）分别变为/ 1 一 1、h 2丿1b tan a h 27.2.8)7.2.9)7.2.6)6pQAp = p 一 p =-1221b tana h2h212流量公式7.2.10)7.2.11)A6 pQ h 2 一 h 2Ap = p 一 p =-1221 b tan a h 2 h
11、 212b h2h2Q 二1 Ap6pl h +h12由式（7.2.9）可知，液体在倾斜平面缝隙中的压力分布，随沿程 x 的变化而变化，对 于收缩断面则如图7-2（a）所示，压力分布曲线为上凸，比平行平面缝隙中呈线性分布的压力 为高。对于扩展断面则如图7-6（b）所示，压力分布曲线为下凹，比平行平面缝隙中呈线性分布的压力为低。7.3 流经环形缝隙的流动由内外两个圆柱面围成的缝隙叫圆柱环形缝隙。在液压技术上，油缸、柱塞或活塞缝 隙中的流动，圆柱滑阀阀芯和阀孔缝隙中的流动等，均属于这种流动。7.3.1 同心环形缝隙如图7-7（a）所示，当环形缝隙h与直径d相比很小时，完全允许把很小缝隙展开，近似
12、看成是平行平面缝隙，此时缝隙宽度b =兀d。故这种同心环形缝隙的流量，可用平行平面 缝隙的流量公式进行计算。当Ap丰0，内外环不动时，按式（7.1.9）即7.3.1)兀 dh 3 AAp12pl当Ap丰0，一环对另一环以速度U轴向移动时，按式(7.1.18)即Aph 3、12 pl土 Uhnd7.3.2)式中，当移动速度U与油液通过缝隙的泄漏方向相同时取“ + ”号，相反时取“一”号。如图7-7(b)所示，当r2 = h较大时，内外环不动，Ap丰0的流量计算公式为Q二哑8plC 4 r 4212 r 2 ) -/ 1 ln 乂I r1丿7.3.3)7.3.2 偏心环形缝隙 在实际问题中，出现上
13、述同心环形缝隙一般是不多见的，偏心环形缝隙却时常出现。例如油缸与活塞之间的缝隙，滑阀芯与阀体之间的缝隙，由于受力不均匀，经常呈现偏心的 现象。如图7-8所示的偏心环形缝隙中，其中r2分别为内外环的半径，e为两环的偏心距 离。设在任一角度9时，两环表面的缝隙量为y，y是P的函数，由于它是个微量，所以偏 心距e更是个微量。从图中可以看出cos Y + e cos 申由于缝隙很小，角丫很小，故cos丫 U 1，于是上式可写为(r + e cos 申)=h - e cos 申1其中-=h为同心时的环形缝隙量。引入相对偏心率则有= h(1 cos9取-单元弧长ds = r2d9，通过宽度ds的缝隙流量，可按偏心平面流量公式计算，即ApdQ =丽 y 3d9 =特 G- cos 9)3 d9将上式9从0到2兀积分得Q 二 rAph j2兀(1 -8 cos9dq12 pl 0二打 Ah3(2 + 28 2兀)12 pl7.3.4)兀dAph
