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1、马鞍山市2014届第二次教学质量检测高三理科数学试题本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,全卷满分150分,考试时间120分钟考生注意事项: 1答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、姓名、班级、座号、准考证号 2答第卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号 3答第卷时,必须使用05毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸
2、上答题无效4考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交第I卷(选择题,共50分)一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B铅笔涂黑(1)设(是虚数单位),则等于() A B C D 命题意图:考查共轭复数及复数的运算,容易题。第(2)题图答案:D(2)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为()ABCD命题意图:考查三视图及体积的运算,考查空间想象能力。容易题。答案:A解析:(3)的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为() A20 B10 C10 D20命题意图:考查二项式定理的
3、应用,容易题。答案:C (4)某程序框图如图所示,若输出的,则判断框内的条件为()开始输出S结束是否第(4)题图 A BC D命题意图:考查程序框图,容易题。答案:A(5)设是等差数列的前项和,若,则 等于()A1 B1 C2 D. 命题意图:考查等差数列性质及运算,容易题。答案: A(6)函数的最大值为()A B C D命题意图:考查三角函数性质与运算,容易题。答案: A(7)以下判断正确的是( )A函数为上的可导函数,则“”是“为函数极值点”的充要条件 B“”是“直线与直线平行”的充要条件C命题“在中,若”的逆命题为假命题 D命题“”的否定是“”命题意图:考查简易逻辑基本概念,容易题。答案
4、:B (8)我国古代“五行”学说认为:“物质分金、木、土、水、火五种属性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金”将这五种不同属性的物质任意排成一列,设事件表示“排列中属性相克的两种物质均不相邻”,则事件发生的概率为() A B C D命题意图:考查排列组合、概率,中档题。答案: B(9)已知,定义域为,任意,点组成的图形为正方形,则实数的值为()A B C D命题意图:考查函数定义域,值域及最值,考查理解能力,较难题。答案:D(10)定义域为的函数,满足,则不等式的解集为()A. B. C. D. 命题意图:考查运用导数解决问题的能力,较难题。答案:D解答:构造函数由已知,故在R上为减函数,
5、而不等式化为,故选D第II卷(非选择题,共100分)二、填空题:本大题共5个小题,每小题5分,共25分请在答题卡上答题(11)在极坐标系中,曲线和相交于点、,则 命题意图:考查极坐标的基础知识,容易题。答案:(12)若双曲线与抛物线有相同焦点,则实数的值为 命题意图:考查圆锥曲线基本量计算,容易题。答案:(13)若三角形的三个内角的弧度数分别为,则的最小值为 命题意图:考查基本不等式,容易题。答案: (14) 已知,且不共线,则向量与的夹角的取值范围为 命题意图:考查平面向量概念及运算,数形结合思想等,中档题。答案: 第(15)题图(15)如图,四面体中,两两垂直,且 . 给出下列命题:存在点
6、(点除外),使得四面体仅有3个面是直角三角形;存在点,使得四面体的4个面都是直角三角形;存在唯一的点,使得四面体是正棱锥(底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心,这样的棱锥叫做正棱锥);存在唯一的点,使得四面体与四面体的体积相等;存在无数个点,使得与垂直且相等.其中正确命题的序号是 (把你认为正确命题的序号都填上) 命题意图:综合考查空间几何体的概念、线面关系,等价转化的思想,较难题答案:三、解答题:本大题共6个小题,满分75分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤(16)(本小题满分12分)在中,的对边分别是,已知平面向量,且()求的值;(2)若,求边的值命题意图:综合
7、考查平面向量数量积,三角恒等变形等知识,容易题。解析:(1)由题意,得 由于中,.6分()由得,即,. 得, ,所以为正三角形,12分(17)(本小题满分12分)空气质量指数(Air Quality Index,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数,其数值越大说明空气污染状况越严重,对人体健康的危害也就越大。根据国家标准,指数在0-50之间时,空气质量为优;在51-100之间时,空气质量为良;在101-150之间时,空气质量为轻度污染;在151-200之间时,空气质量为中度污染;在大于200时,空气质量为重度污染。环保部门对某市5月1日至5月15日空气质量指数预报如下表:日 期123456
8、789101112131415空气质量指数7556261562301638821020620178981059793某人选择5月1日至5月13日某一天到达该市,并停留三天.()求此人到达当日空气重度污染的概率;()设是此人停留期间空气质量优良的天数,求随机变量的分布列及数学期望; ()根据上表判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大(不要求计算,只写出结果).命题意图: 考查概率统计的基本运算及随机变量分布列,中档题。解析:()记事件为此人到达当日空气重度污染,则由表中数据可得2分()此人在该市停留期间空气质量优良天数统计如下表:到达日期12345678910111213空气质量优良天数3
9、210111012222所以随机变量的概率分布如下:X0123P所以10分()从5月3日开始连续三天的空气质量指数方差最大. 12分(18)(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,平面平面,()求证:;()是侧棱上一点,记,当平面时,求实数的值.命题意图:综合考查立体几何有关知识,考查运算能力.中档题。解析:()在中,由余弦定理求得.,.平面平面,交线为,平面,.6分()作,交于点,连接,由可知四点共面,连接,所以由()的结论可知,平面当且仅当.在中,由,及余弦定理求得,在中,因此.12分(19)(本小题满分12分)已知函数.()若,求曲线在点处的切线方程;()讨论函数的单调性
10、.命题意图: 综合考查导数的应用,分类讨论思想,中档题。解析:()当时,函数,函数的定义域为,且2分 ,所以曲线在点处的切线方程为4分() 函数的定义域为,且(1)当时, 在时恒成立, 6分 在上单调递增.(2) 当时, 当时,在时恒成立在上单调递减8分当时,由得且 9分减增减所以在和上单调递减,在上单调递增12分(20)(本小题满分13分)已知实数满足.() 若直线与曲线:相交于两点,是坐标原点,且,若直线的斜率为,求曲线的离心率;() 当时,求的最小值. 命题意图:考查二次曲线的离心率,二次函数的最值,分类讨论思想,中档题。解析:() 由知为的中点,2分设,代入曲线方程:, 因为的斜率为,从而,5分,故曲线为焦点在轴上的椭圆,7分() 记或9分(1)若,此时11分(2)若,此时13分(21) (本小题满分14分)已知函数的定义域为,且,对,都有,数列满足,()证明:,;()若数列满足,求数列的通项公式;()设,证明:当时,.(其中符号)命题意图:综合考查不等式、数列的有关知识,较难题。解析:()证明:依题意且,当时,2分而, 又 ,即数列为递增数列,又,4分()由()有,所以,又0数列是等比数列,且公比为2, 8分()由()知,数列为递增数列当且时, 当时,当时,14分