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1、第十六章 多元函数的极限与连续 教学目的：1.明确认识多元函数与一元函数的相同和不同之处，进而掌握多元函数研究问题的手法与特点；2.明确研究多元函数的目的及多元函数的用途。 教学重点难点：本章的重点是平面点集的有关概念与二元函数的连续性；难点是二元函数极限的讨论。 教学时数：16学时 1 平面点集与多元函数 一.平面点集:平面点集的表示:满足的条件.余集 .1. 常见平面点集: 全平面和半平面 : , , , 等. 矩形域: , . 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环.圆的个部分.极坐标表示, 特别是 和 . 角域: . 简单域: 型域和 型域. 2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，
2、方邻域内有圆邻域. 空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集 的区别.二. 点集拓扑的基本概念: 1. 内点、外点和界点：集合 的全体内点集表示为 , 边界表示为 .集合的内点 , 外点 , 界点不定 .例1确定集的内点、外点集和边界 .例2 为Dirichlet函数.确定集 的内点、外点和界点集 . 2. ( 以凝聚程度分为 ) 聚点和孤立点: 孤立点必为界点 .例3 . 确定集 的聚点集 .解 的聚点集 .3. ( 以包含不包含边界分为 ) 开集和闭集: 时称 为开集 , 的聚点集 时称 为闭集. 存在非开非闭集.和空集 为既开又闭集.4. ( 以连通性分为 ) 开区域、闭区域、区域：以上常
3、见平面点集均为区域 . 5. 有界集与无界集:6. 点集的直径 ： 两点的距离 .7. 三角不等式： （或 ） .三. 点列的极限: 设 , . 定义 的定义 ( 用邻域语言 ) .例4 , , . 例5 设 为点集 的一个聚点 . 则存在 中的点列 , 使 . 四. 中的完备性定理: 1. Cauchy收敛准则: 先证 为Cauchy列 和 均为Cauchy列.2. 闭集套定理: P116. 3. 聚点原理: 列紧性 , Weierstrass聚点原理. 4. 有限复盖定理: 五. 二元函数: 1. 二元函数的定义、记法、图象： 2. 定义域： 例6 求定义域： ; . 3. 二元函数求值:
4、 例7 , 求 . 例8 , 求 .4. 三种特殊函数: 变量对称函数: ,例8中的函数变量对称. 变量分离型函数: .例如 , 等 . 但函数 不是变量分离型函数 . 具有奇、偶性的函数： 2 二元函数的极限 一. 全面极限与相对极限: 全面极限亦称为二重极限. 1. 全面极限 的定义: 亦可记为 .由 的定义引入.例1 用“ ”定义验证极限 . P94例1. 例2 用“ ”定义验证极限 .例3 证明 . ( 用极坐标变换 ) P94例2. 2. 相对极限及方向极限: 相对极限 和方向极限 的定义.3. 全面极限与相对极限的关系: Th 1 ,对D的每一个子集E ,只要点 是E的聚点 ,就有
5、 . 推论1 设 , 是 的聚点 . 若极限 不存在 , 则极限也不存在 . 推论2 设 , 是 和 的聚点. 若存在极限 , 但 , 则极限 不存在. 推论3 极限 存在, 对D内任一点列 , 但 ,数列 收敛 . 通常为证明极限 不存在, 可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关 . 但应注意 , 沿任何方向的极限存在且相等 全面极限存在 ( 以下例5 ).例4 证明极限 不存在.( 考虑沿直线 的方向极限 ). 全面极限具有与一元函数极限类似的运算性质. 例5 求下列极限: ; ; ; . 4 极限 的定义: 其他类型的非正常极限， 无
6、穷远点的情况.例6 验证 . 二. 累次极限: 1. 累次极限的定义: 定义.例7 , 求在点 的两个累次极限 . P97 例6. 例8 , 求在点 的两个累次极限 .例9 , 求在点 的两个累次极限 .2. 全面极限与累次极限的关系: 两个累次极限存在时, 可以不相等. ( 例9 ) 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在. 例如函数在点 的情况 . 全面极限存在时, 两个累次极限可以不存在. 例如例8中的函数,全面极限存在 , 但两个累次极限均不存在. 两个累次极限存在(甚至相等)全面极限存在 .( 参阅例7 ). 综上 , 全面极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系 . 但有
7、以下确定关系. Th 2 若全面极限 和累次极限 (或另一次序)都存在 , 则必相等. ( 证 ) P98. 推论1 全面极限和两个累次极限三者都存在时 , 三者相等 . 系1给出了累次极限次序可换的一个充分条件. 推论2 两个累次极限存在但不相等时 , 全面极限不存在 . 但两个累次极限中一个存在 , 另一个不存在 全面极限不存在 . 3 二元函数的连续性一 二元函数的连续（相对连续）概念：由一元函数连续概念引入 . 1. 连续的定义: 定义 用邻域语言定义相对连续 . 全面连续 . 函数 有定义的孤立点必为连续点 .例1 证明函数 在点 沿方向 连续 . 函数的增量: 全增量、 偏增量 . 用增量定义连续性 . 函数在区域上的连续性 . 2. 二元连续( 即全面连续 ) 和单元连续 : 定义 ( 单元连续 ) 二元连续与单元连续的关系: 参阅P101 图169. 3. 连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性. 仅证复合函数连续性. 二. 二元初等函数及其连续性: 二元初等函数 , 二元初等函数的连续性. 三. 一致连续性: 定义. 四. 有界闭区域上连续函数的性质: 1. 有界性与最值性. ( 证 ) 2. 一致连续性. ( 证 ) 3. 介值性与零点定理. ( 证 )
