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1、提分专练(四)方程、不等式与函数的综合|类型1|函数与方程1.2018黄冈 已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x. (1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点; (2)设直线l与该抛物线的两交点为A,B,O为原点,当k=-2时,求OAB的面积.2.2018上海 一辆汽车在某次行驶过程中,油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系,其部分图像 如图T4-1所示. (1)求y关于x的函数关系式(不需要写自变量的取值范围); (2)已知当油箱中的剩余油量为8升时,该汽车会开始提示加油.在此行驶过程中,行驶了500千米时,司机发现离前方最 近的加油站有30千米的路程,在开往
2、加油站的途中,汽车开始提示加油,这时离加油站的路程是多少千米?图T4-13.2018台州 如图T4-2,函数y=x的图像与函数y=(x0)的图像相交于点P(2,m). (1)求m,k的值; (2)直线y=4与函数y=x的图像相交于点A,与函数y=(x0)的图像相交于点B,求线段AB长.图T4-24.2018云南 已知二次函数y=-x2+bx+c的图像经过A(0,3),B-4,-两点. (1)求b,c的值. (2)二次函数y=-x2+bx+c的图像与x轴是否存在公共点?若有,求公共点的坐标;若没有,请说明理由.|类型2|函数与不等式5.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像经过点A(4,0)
3、,B(2,8),且以直线x=1为对称轴. (1)求此函数的解析式,并作出它的示意图; (2)当0x0(a0)的解集.图T4-36.2018枣庄 如图T4-4,一次函数y=kx+b(k,b为常数,k0)的图像与x轴、y轴分别交于A,B两点,且与反比例函数y=(n 为常数,且n0)的图像在第二象限交于点C,CDx轴,垂足为D,若OB=2OA=3OD=12. (1)求一次函数与反比例函数的解析式; (2)记两函数图像的另一个交点为E,求CDE的面积; (3)直接写出不等式kx+b的解集.图T4-47.2018襄阳 如图T4-5,已知双曲线y1=与直线y2=ax+b交于点A(-4,1)和点B(m,-4
4、). (1)求双曲线和直线的解析式; (2)直接写出线段AB的长和y1y2时x的取值范围.图T4-58.如图T4-6,抛物线y1=ax2+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点P在抛物线上,过P(1,-3),B(4,0)两点作直线y2=kx+b. (1)求a,c的值; (2)根据图像直接写出y1y2时,x的取值范围; (3)在抛物线上是否存在点M,使得SABP=5SABM?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.图T4-6参考答案1.解:(1)证明:联立两个函数,得x2-4x=kx+1,即x2-(4+k)x-1=0,其中=(4+k)2+40,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根,即
5、直线l与抛物线总有两个交点.(2)如图,连接AO,BO,联立两个函数,得x2-4x=-2x+1,解得x1=1-,x2=1+.设直线l与y轴交于点C,在一次函数y=-2x+1中,令x=0,得y=1,所以C(0,1),OC=1.所以SABO=SAOC+SBOC=OC|xA|+OC|xB|=OC|xA-xB|=12=.2.解:(1)设一次函数的关系式是y=kx+b,由图像知,点(0,60)与点(150,45)在一次函数图像上,将其坐标代入函数关系式,得解之,得故y=-x+60.(2)当y=8时,-x+60=8,解之,得x=520.30-(520-500)=10(千米).汽车开始提示加油时,离加油站的
6、路程是10千米.3.解:(1)把P(2,m)代入y=x得m=2,P(2,2),把P(2,2)代入y=得k=4,反比例函数的解析式为y=.(2)当y=4时,代入y=x得x=4,A(4,4);将y=4代入y=得x=1,所以AB=4-1=3.4.解:(1)二次函数y=-x2+bx+c的图像经过A(0,3),B-4,-两点,解得b=,c=3.(2)由(1)知,b=,c=3.该二次函数为y=-x2+x+3.在y=-x2+x+3中,当y=0时,0=-x2+x+3,解得x1=-2,x2=8,二次函数y=-x2+bx+c的图像与x轴有两个公共点,分别为(-2,0),(8,0).5.解:(1)二次函数y=ax2
7、+bx+c(a0)的图像经过点A(4,0),B(2,8),且以直线x=1为对称轴,解得二次函数的解析式为y=-x2+2x+8=-(x-1)2+9,抛物线与x轴的交点为(-2,0),(4,0),顶点坐标为(1,9),二次函数的图像如图所示.(2)由图可知,当0x4时,00(a0)的解集为-2x4.6.解:(1)OB=2OA=3OD=12,OA=6,OB=12,OD=4,A(6,0),B(0,12),点D的横坐标为-4,把点A,点B的坐标代入y=kx+b得0=6k+b,b=12,k=-2,一次函数的解析式为y=-2x+12.点C与点D的横坐标相同,代入y=-2x+12得点C的纵坐标为20,即C(-
8、4,20),20=,n=-80,反比例函数的解析式为y=-.(2)由y=-2x+12和y=-得-2x+12=-,解得x1=-4,x2=10,E(10,-8),CDE的面积为20(10+4)=140.(3)由图像可得-4xy2时,x的取值范围是-4x1.提示:由两点间距离坐标公式得AB=5.在图像中找出双曲线在直线上方的部分,确定这部分x的取值范围是-4x1.8.解:(1)将P(1,-3),B(4,0)代入y=ax2+c得:解得(2)由图像得x4或x1.(3)在抛物线上存在点M,使得SABP=5SABM,理由是:抛物线的解析式是y=x2-.设M点的纵坐标为e,P(1,-3),由SABP=5SABM得:AB|-3|=5AB|e|,解得|e|=,所以e=.当e=时,x2-=,解得x=,当e=-时,x2-=-,解得x=,即M点的坐标是,-,-,-,-.1
