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1、第九章欧几里得空间( * * *) 一、复习指导:在第九章中,有两个重要的考点:1标准正交基(施密特正交化)2.实对称 矩阵如何相似对角化,如何求标准形。除此之外,欧氏空间的含义,概念,性质也要作为- 个比较重要的内容来复习。二、考点精讲: 三、首师大真题:(一)欧氏空间1设v是是数域R上一线性空间,在v上定义了一个二元实函数,称为内积,记为(a,卩), 特具有一下性质:(1)(a,卩)=(卩);(2)(ka,卩)=k(a,卩)(3)(a +卩,丫) = (a,丫) + (卩,丫);(4)(a,a) 0,当且仅当a =o时(a,卩)=0.这里a,卩,Y是V中任意的向量,k是任意 实数,这样的线
2、性空间V称为欧几里得空间。2. 非负实数叮(a,a)称为向量a的长度,记为|。卩:称为正交或互相垂直,记为a丄卩3. 非零向量a,卩的夹角:a,卩:规定为::a,卩;:=arccos4. 如果向量a,卩的内积为零,即(a,卩)=0 ,那么a,l5设V是一个n维欧几里得空间,在V中取一组基,令1, 2, na = ( , ),(i, j = 1,2,.n)矩阵A = (a ) 称为基,的度量矩阵。iji jij nxn1, 2,n(1)度量矩阵是正定的;(2)不同基底的度量矩阵是合同的。6欧氏空间V中一组非零向量,如果它们两两正交,就称为一正交向量组。在n维欧氏空 间中,由n个向量组成的正交向量
3、组称为正交基;由单位向量组成的正交基称为标准正交基。1)施密特正交化 这是把线性无关向量组改造为单位正交向量组的方法.以3个线性无关向量, a2, a3为例. 令p1=a1,P =a - 2,卩i)p 卩22 (p p)r(a ,卩)(a ,卩)r (p, p/1 (p ,卩厂2 .1 1 2 2此时p , p , p是和a, a, a等价的正交非零向量组.123123二)同构1实数域R上欧氏空间V与v称为同构,如果由V到v有一个1 -1上的映射,适合(1)b(a + p) =b(a)+a(卩)(2)b (ka) = kb (a)(3)Q(a)Q(卩)=(a,卩)这里a,卩eV,k eR,这样
4、的映射a称为v到v的同构映射。2.两个有限维欧氏空间同构的充分条件是它们的维数相同。(三)正交矩阵1. 基本概念(1)n级实数矩阵A称为正交矩阵,如果AA = E。(2)欧氏空间 v 的线性变换 A 称为正交变换,如果它保持向量的内积不变,即对任意的 a,卩eV都有(Aa,A卩)=(a,卩)2. 主要结论设A是欧氏空间V的一个线性变换,于是下面4个命题等价:(1)A是正交变换;(2)A保持向量的长度不变,即对于a eV , |A叫=叫;(3)如果 ,是标准正交基,那么A A , A也是标准正交基;1, 2, n 1, 2, n(4)A 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。(四)正交子空间1.
5、 基本概念(1 )设V,V是欧氏空间V中两个子空间。如果对于任意的a e V,卩e V恒有(a,卩)=0, 则称V,V 为正交的,记V丄V。一个向量a,如果对于任意的0 e V,恒有(a,卩) 1 2 1 2 1=0,则称a与子空间V正交,记为a丄V。11(2)子空间V称为子空间的一个正交补,如果V丄V,并且V + V =V。2 1 2 1 22. 主要结论(1)如果子空间V, , V两两正交,那么和V + + V是直和。1 s 1 s(2)欧氏空间V的每一个子空间V都有唯一的正交补V丄。11(3)V丄恰由所有与V正交的向量组成。11(五)对称矩阵的性质1. 实对称矩阵的性质(1)实对称矩阵的
6、特征值皆为实数。(2)设A是n级实对称矩阵,则Rn中属于A的不同特征值的特征向量必正交。(3)对于任意一个n级实对称矩阵A,都存在一个n级正交矩阵T,使TAT = T-iAT成 对角矩阵。2. 对称矩阵(1)设A是欧氏空间V中的一个线性变换,如果对于任意的a,卩eV,有(Aa,卩)=(a, A卩)则称a为对称变换。(2)对称变换的性质 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵。 设A是对称变换,V是A-子空间,则V丄也是A-子空间。ii 设A是n维欧氏空间V中的对称变换,则V中存在一组由A得特征向量构成的标准正 交基。(3)实对称矩阵的对角化A 是实对称矩阵,则它的对角化问题有特殊的结论.A
7、的特征值和特征向量有以下特点:(1) 特征值都是实数.(2)对每个特征值九,其重数二n-r (九E-A).(3)属于不同特征值的特征向量互相正交. 于是,我们得出:实对称矩阵可对角化,并且可以用正交矩阵将其对角化.设A是实对称矩阵,构造正交矩阵Q (使得Q-AQ是对角矩阵)的步骤:(1)求出 A 的特征值;(2)对每个特征九,求(九E-A) X=0的单位正交基础解系,合在一起得到A的n个单位正交的 特征向量;(3)用它们为列向量构造正交矩阵 Q.(六)向量到子空间的距离,最小二乘法1. 长度口-卩|称为向量Q和卩的距离,记为d(a,卩),且(1)d(a,卩)=d(卩,a)(2)d (a,卩)
8、0,当且仅当a=B时等号成立;(3)d(a,卩)d(a,y) + d(,卩)(三角不等式)2. 实系数线性方程组a x + a x + + a x b 011 112 21n n1a X + a x + a x b 02 21 122 22 n n2a x + a x + a x b 0J n1 1n 2 2nn n n可能无解,即任何一组实数x ,x ,x都可能使E (a x + a x + a x b )2不1 2 si1 1 i 2 2 is s ii1等于零,寻找实数组xo,xo,.,xo使上式最小,这样的xo,xo,.,xo称为方程组的最小二1 2 s 1 2 s乘解。3. 线性方程组AX=b的最小二乘解即为满足方程组AAX Ab的解X