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1、第九章欧几里得空间（ * * *） 一、复习指导:在第九章中，有两个重要的考点：1标准正交基（施密特正交化）2.实对称 矩阵如何相似对角化，如何求标准形。除此之外，欧氏空间的含义，概念，性质也要作为- 个比较重要的内容来复习。二、考点精讲: 三、首师大真题：（一）欧氏空间1设v是是数域R上一线性空间，在v上定义了一个二元实函数，称为内积，记为（a,卩）， 特具有一下性质:（1）（a,卩）=（卩）；（2）（ka,卩）=k（a,卩）（3）（a +卩，丫） = （a，丫） + （卩，丫）；（4）（a,a） 0，当且仅当a =o时（a,卩）=0.这里a,卩,Y是V中任意的向量，k是任意 实数，这样的线
2、性空间V称为欧几里得空间。2. 非负实数叮（a,a）称为向量a的长度，记为|。卩:称为正交或互相垂直，记为a丄卩3. 非零向量a,卩的夹角:a,卩:规定为:：a,卩;：=arccos4. 如果向量a,卩的内积为零，即（a,卩）=0 ,那么a,l5设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基,令1, 2, na = （ , ）,（i, j = 1,2,.n）矩阵A = （a ） 称为基,的度量矩阵。iji jij nxn1, 2,n（1）度量矩阵是正定的；（2）不同基底的度量矩阵是合同的。6欧氏空间V中一组非零向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。在n维欧氏空 间中，由n个向量组成的正交向量
3、组称为正交基;由单位向量组成的正交基称为标准正交基。1）施密特正交化 这是把线性无关向量组改造为单位正交向量组的方法.以3个线性无关向量, a2, a3为例. 令p1=a1,P =a - 2,卩i)p 卩22 (p p)r(a ,卩)(a ,卩)r (p, p/1 (p ,卩厂2 .1 1 2 2此时p , p , p是和a, a, a等价的正交非零向量组.123123二）同构1实数域R上欧氏空间V与v称为同构，如果由V到v有一个1 -1上的映射，适合（1）b（a + p） =b（a）+a（卩）（2）b （ka） = kb （a）（3）Q（a）Q（卩）=（a,卩）这里a,卩eV,k eR，这样
4、的映射a称为v到v的同构映射。2.两个有限维欧氏空间同构的充分条件是它们的维数相同。（三）正交矩阵1. 基本概念（1）n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果AA = E。（2）欧氏空间 v 的线性变换 A 称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对任意的 a,卩eV都有（Aa,A卩）=（a,卩）2. 主要结论设A是欧氏空间V的一个线性变换，于是下面4个命题等价：（1）A是正交变换；（2）A保持向量的长度不变，即对于a eV , |A叫=叫；（3）如果 ,是标准正交基，那么A A , A也是标准正交基；1, 2, n 1, 2, n（4）A 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。（四）正交子空间1.
5、 基本概念（1 ）设V,V是欧氏空间V中两个子空间。如果对于任意的a e V，卩e V恒有（a,卩）=0， 则称V,V 为正交的，记V丄V。一个向量a，如果对于任意的0 e V，恒有（a,卩） 1 2 1 2 1=0，则称a与子空间V正交，记为a丄V。11（2）子空间V称为子空间的一个正交补，如果V丄V，并且V + V =V。2 1 2 1 22. 主要结论（1）如果子空间V, , V两两正交，那么和V + + V是直和。1 s 1 s（2）欧氏空间V的每一个子空间V都有唯一的正交补V丄。11（3）V丄恰由所有与V正交的向量组成。11（五）对称矩阵的性质1. 实对称矩阵的性质（1）实对称矩阵的
6、特征值皆为实数。（2）设A是n级实对称矩阵，则Rn中属于A的不同特征值的特征向量必正交。（3）对于任意一个n级实对称矩阵A,都存在一个n级正交矩阵T,使TAT = T-iAT成 对角矩阵。2. 对称矩阵（1）设A是欧氏空间V中的一个线性变换，如果对于任意的a,卩eV，有（Aa,卩）=（a, A卩）则称a为对称变换。（2）对称变换的性质 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵。 设A是对称变换，V是A-子空间，则V丄也是A-子空间。ii 设A是n维欧氏空间V中的对称变换，则V中存在一组由A得特征向量构成的标准正 交基。（3）实对称矩阵的对角化A 是实对称矩阵,则它的对角化问题有特殊的结论.A
7、的特征值和特征向量有以下特点:（1） 特征值都是实数.（2）对每个特征值九,其重数二n-r （九E-A）.（3）属于不同特征值的特征向量互相正交. 于是,我们得出:实对称矩阵可对角化,并且可以用正交矩阵将其对角化.设A是实对称矩阵，构造正交矩阵Q （使得Q-AQ是对角矩阵）的步骤：（1）求出 A 的特征值;（2）对每个特征九，求（九E-A） X=0的单位正交基础解系，合在一起得到A的n个单位正交的 特征向量;（3）用它们为列向量构造正交矩阵 Q.（六）向量到子空间的距离，最小二乘法1. 长度口-卩|称为向量Q和卩的距离，记为d（a,卩），且（1）d（a,卩）=d（卩,a）（2）d （a,卩）
8、0，当且仅当a=B时等号成立；（3）d（a,卩）d（a,y） + d（,卩）（三角不等式）2. 实系数线性方程组a x + a x + + a x b 011 112 21n n1a X + a x + a x b 02 21 122 22 n n2a x + a x + a x b 0J n1 1n 2 2nn n n可能无解，即任何一组实数x ,x ,x都可能使E （a x + a x + a x b ）2不1 2 si1 1 i 2 2 is s ii1等于零，寻找实数组xo,xo,.,xo使上式最小，这样的xo,xo,.,xo称为方程组的最小二1 2 s 1 2 s乘解。3. 线性方程组AX=b的最小二乘解即为满足方程组AAX Ab的解X
