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1、专题过关检测四立体几何一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021山东济宁二模)“直线m垂直于平面内的无数条直线”是“m”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2021重庆八中月考)已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA平面ABC,PA=2AB,则异面直线CD与PB所成角的余弦值为() A.55B.255C.510D.95103.(2021江西上饶三模)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,G是线段BC1上一点,且A1GB1D,则()A.BG=12BC1B.BC1=3G
2、C1C.BG=3GC1D.G为线段BC1上任意一点4.(2021辽宁葫芦岛一模)某保鲜封闭装置由储物区与充氮区(内层是储物区,用来放置新鲜易变质物品,充氮区是储物区外的全部空间,用来向储物区输送氮气从而实现保鲜功能)构成.如图,该装置外层上部分是半径为2的半球,下面大圆刚好与高度为3的圆锥的底面圆重合,内层是一个高度为4的倒置小圆锥,小圆锥底面平行于外层圆锥的底面,且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合,为了保存更多物品,充氮区的体积最小为()A.4B.163C.283D.435.(2021天津三模)在圆柱O1O2内有一个球O,球O分别与圆柱O1O2的上、下底面及母线均有且只有一个公共点.若O1O2=
3、2,则圆柱O1O2的表面积为()A.4B.5C.6D.76.(2021广东深圳模拟)已知球O与棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面都相切,M为棱DD1的中点,则平面AMC截球O所得截面的面积为()A.3B.23C.D.437.(2021福建师大附中模拟)过正方形ABCD的顶点A作PA平面ABCD,若AB=AP,则平面ABP与平面CDP的夹角的余弦值为()A.13B.22C.32D.338.(2021山东滨州二模)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱DD1的中点,P是底面ABCD内(包括边界)的一个动点,若MP平面A1BC1,则异面直线MP与A1C1所成角的取值范围是()A
4、.0,3B.6,3C.3,2D.3,二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2021广东广州三模)对于空间中的两条不同直线a,b和两个不同平面,下列说法正确的是()A.若a,b,则abB.若ab,b,则aC.若a,b,则abD.若a,则a10.(2021湖北荆门月考)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段BC1上运动,下列结论正确的是()A.三棱锥A-D1PC的体积不变B.直线AP与平面ACD1所成角的大小不变C.直线AP与直线A1D所成角的大小不变D.二面角P-AD1-
5、C的大小不变11.(2021福建龙岩三模)在意大利,有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛,这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullo,于1996年被收入世界文化遗产名录.现测量一个Trullo的屋顶,得到圆锥SO(其中S为顶点,O为底面圆心),母线SA的长为6 m,C是母线SA上靠近点S的三等分点.从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带,灯光带的最小长度为213 m.下面说法正确的是()A.圆锥SO的侧面积为12 m2B.过点S的平面截此圆锥所得截面面积最大值为18 m2C.圆锥SO的外接球的表面积为72 m2D.棱长为3 m的正四面体在圆锥SO内可以任意转动12.(2021新高考,12)在正
6、三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,点P满足BP=BC+BB1,其中0,1,0,1,则()A.当=1时,AB1P的周长为定值B.当=1时,三棱锥P-A1BC的体积为定值C.当=12时,有且仅有一个点P,使得A1PBPD.当=12时,有且仅有一个点P,使得A1B平面AB1P三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021辽宁大连期中)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30,则该圆锥的侧面积为.14.(2021河北石家庄期末)如图,已知二面角A-EF-D的大小为45,四边形ABFE与四边形CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是.15.(2021浙江绍兴二
7、模)如图,在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱A1A上的动点,N是棱BC的中点.当平面D1MN与平面ABCD的夹角最小时,A1M=.16.(2021广东汕头二模)在菱形ABCD中,AB=2,DAB=60,E为AB的中点,将ADE沿DE翻折成A1DE,当三棱锥A1-DEC的体积最大时,三棱锥A1-DEC的外接球的表面积为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021广东韶关期中)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1,BCC1B1,ACC1A1的面积依次为16,12,20,E,F分别为A1C1,BC的中
8、点.求证:(1)平面ABE平面BB1C1C;(2)C1F平面ABE.18.(12分)(2021河北张家口一模)如图,四边形ABCD是正方形,PA平面ABCD,PAEB,且PA=PB=3.(1)求证:CE平面PAD;(2)若BE=13PA,求直线PD与平面PCE所成角的正弦值.19.(12分)(2021北京石景山区模拟)如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,PD底面ABCD,M为BC的中点,PBAM.(1)求证:平面PAM平面PBD;(2)若PD=DC=1,求四棱锥P-ABCD的体积.20.(12分)(2021山东淄博三模)如图,在平面图形ABCD中,ABD是边长为4的等边三角形,DB是ADC的
9、平分线,且BDBC,M为AD的中点,沿BM将ABM折起,得到四棱锥A1-BCDM,如图.图图(1)设平面A1BC与平面A1DM的交线为l,在四棱锥A1-BCDM的棱A1C上求一点N,使直线BNl;(2)若二面角A1-BM-D的大小为60,求平面A1BD与平面A1CD的夹角的余弦值.21.(12分)(2021湖南长沙模拟)如图,C是以AB为直径的圆上异于点A,B的点,平面PAC平面ABC,PA=PC=AC=2,BC=4,E,F分别是PC,PB的中点,设平面AEF与平面ABC的交线为直线l.(1)求证:直线l平面PAC.(2)直线l上是否存在点Q,使直线PQ分别与平面AEF,直线EF所成的角互余?
10、若存在,求出AQ的值;若不存在,请说明理由.22.(12分)(2021重庆蜀都中学月考)如图,在菱形ABCD中,ABC=120,动点E,F分别在边AD,AB上(不含端点),且存在实数,使EF=BD,沿EF将AEF向上折起得到PEF,使得平面PEF平面BCDEF,如图所示.图图(1)若BFPD,设三棱锥P-BCD和四棱锥P-BDEF的体积分别为V1,V2,求V1V2.(2)当点E的位置变化时,二面角E-PF-B是否为定值?若是,求出该二面角的余弦值;若不是,说明理由.专题过关检测四立体几何1.B解析 由直线m垂直于平面内的无数条直线不能推出m,但是由m一定能推出直线m垂直于平面内的无数条直线,所
11、以“直线m垂直于平面内的无数条直线”是“m”的必要不充分条件.故选B.2.C解析 连接AE,BE(图略),设AB=1,则PA=2,AE=12+12-211cos120=3,PE=4+3=7,BE=3+1=2,PB=4+1=5.易知CDBE,所以PBE是直线CD与PB所成的角(或其补角).又cosPBE=4+5-7225=510,所以直线CD与PB所成角的余弦值为510.故选C.3.D解析 如图,AD平面ABB1A1,ADA1B.又AB1A1B,AB1AD=A,A1B平面AB1D,A1BB1D.同理BC1B1D.又A1BBC1=B,B1D平面A1BC1.又A1G平面A1BC1,A1GB1D.故G
12、为线段BC1上任意一点.故选D.4.B解析 由题意可知内层小圆锥底面半径最大为22-12=3,所以充氮区的体积最小为124323+13223-13(3)24=163.故选B.5.C解析 依题意,圆柱O1O2的底面半径r=1,高h=2,所以圆柱O1O2的表面积S=2rh+2r2=4+2=6.故选C.6.A解析 设球心O到截面的距离为d,截面圆的半径为r,由VO-ACM=VM-AOC,得13SACMd=23SAOC.因为SACM=12223=6,SAOC=12221=2,所以d=63.又d2+r2=1,所以r=33,所以平面AMC截球O所得截面的面积为r2=3.故选A.7.B解析 设AP=AB=1
13、,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示,则P(0,0,1),D(0,1,0),C(1,1,0),所以PC=(1,1,-1),PD=(0,1,-1).设平面CDP的法向量m=(x,y,z),则mPC=x+y-z=0,mPD=y-z=0,取y=1,则x=0,z=1,所以m=(0,1,1)为平面CDP的一个法向量.易知n=(0,1,0)为平面ABP的一个法向量.设平面ABP与平面CDP的夹角为,则cos =|mn|m|n|=121=22.故选B.8.C解析 如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设AB=2,则B(2,2,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),M(0,0,1),取AD的中点E,DC的中点F,连接ME,EF,MF,则E(1,0,0),F(0,1,0).因为ME=(1,0,-1),C1B=(2,0,-2)=2ME,所以C1BME.同理EFA1C1.又ME平面A1BC1,C1B平面A1BC1,所以ME平面A1BC1.同理MF平面A1BC1.又MFME=M,所以平面MEF平面A1BC1.因为P是底面ABCD内(包括边界)的一个动点,MP平面A1BC1,所以点P在线段EF上.因为EFA1C1,所以异面直线MP与A1C1所成的角即是直线MP与EF所成的角.
