《江西省宜春市2023_2024高三数学上学期10月月考试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江西省宜春市2023_2024高三数学上学期10月月考试题（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、江西省宜春2023-2024高三上学期第一次月考数学试卷一、单选题（40分）1集合，集合，则（ ）ABCD2已知a为实数，若复数为纯虚数，则的值为（ ）A1B0CD3数列满足，若，则等于（ ）ABCD4若六位老师前去某三位学生（同学1，同学2，同学3）家中家访，每一位学生至少有一位老师家访，每一位老师都要前去家访且仅能家访一位同学，由于就近考虑，老师甲不去家访同学1，则有（ ）种安排方法A335B100C360D3405函数的图象大致为（ ）A BC D6已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）ABCD7已知是圆上不同的两个动点，为坐标原点，则的取值范围是（ ）ABCD8已知双曲线
2、的右焦点，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，以为直径的圆过点，延长交右支于点，若，则双曲线的渐近线方程是（ ）ABCD二、多选题(20分)9下列命题为真命题的是（ ）A若，且，则B若，则C若，则D若，则10已知函数的定义域为，函数的图象关于点对称，且满足，则下列结论正确的是（ ）A函数是奇函数B函数的图象关于轴对称C函数是最小正周期为2的周期函数D若函数满足，则11如图，直角梯形中，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.则下列说法正确的有（ ）A平面B四棱锥外接球的体积为C二面角的大小为D与平面所成角的正切值为12已知直线与曲线相交于，两点，与曲线相交于，两点，的横坐标分
3、别为，.则（ ）ABCD三、填空题(20分)13的展开式中含项的系数为 .14如图1是某校园内的一座凉亭，已知该凉亭的正四棱台部分的直观图如图2所示，则该正四棱台部分的体积为 .15已知函数（，且），曲线在点处的切线与直线平行，则 .16双曲线的左焦点为F，直线与双曲线C的右支交于点D，A，B为线段的两个三等分点，且（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为 .四、解答题（70分）17在中，内角、所对的边分别为、，已知.(1)求角的值；(2)若的面积为，为的中点，求的最小值.18已知数列中，.（1）令，求证：数列是等比数列；（2）令，当取得最大值时，求的值19某单位组织知识竞赛，有甲、乙两类问题现
4、有、三位员工参加比赛，比赛规则为：先从甲类问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该员工比赛结束；若回答正确再从乙类问题中随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该员工比赛结束每人两次回答问题的过程相互独立三人回答问题也相互独立甲类问题中每个问题回答正确得分，否则得分；乙类问题中每个问题回答正确得分，否则得分已知员工能正确回答甲类问题的概率为，能正确回答乙类问题的概率为；员工能正确回答甲类问题的概率为，能正确回答乙类问题的概率为；员工能正确回答甲类问题的概率为，能正确回答乙类问题的概率为(1)求人得分之和为分的概率；(2)设随机变量为人中得分为的人数，求随机变量的数学期望20已知直三棱柱中，侧
5、面为正方形，分别为和的中点，为棱上的点，(1)证明：；(2)当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最大？21已知函数（1）若，证明：；（2）若在上有两个极值点，求实数a的取值范围.22已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两个动点，面积的最大值为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线，的斜率分别为，和的面积分别为，.若，求的最大值.高三数学参考答案1A 2B 3C 4C 5B 6D【详解】由题设有，令，则有即.因为在区间内没有零点，故存在整数，使得，即，因为，所以且，故或，所以或，7C【详解】圆的圆心坐标，半径，设圆心到直线的距离为，由圆的弦长公式，可得，即，
6、解得，设的中点为，点的轨迹表示以为圆心，以为半径的圆，的轨迹方程为，因为，又，即,即的取值范围为 .8A【详解】如下图所示，设双曲线的左焦点为点，连接、，设，则，由双曲线的定义可得，由于以为直径的圆经过点，且、，则四边形为矩形，在中，有勾股定理得，即，解得，由勾股定理得，即，所以，则.因此，双曲线的渐近线方程是.9AD 10ABD11ABC【详解】对于A，为中点，四边形为平行四边形，又，四边形为矩形，；，又，平面，平面，A正确；对于B，即，平面，平面，又，平面，平面；矩形的外接圆半径，四棱锥的外接球半径，四棱锥外接球的体积，B正确；对于C，平面，平面，；又，二面角的平面角为，二面角的大小为，C
7、正确；对于D，平面，即为直线与平面所成角，即直线直线与平面所成角的正切值为，D错误.12ACD【详解】设，得，令，可得，当时，则函数单调递增，当时，则函数单调递减，则当时，有极大值，即最大值.设，得，令，则，当时，则函数单调递增，当时，则函数单调递减，则当时，有极大值，即最大值，从而可得.由，得，故A正确；由，得，即，又，得，又在上单调递增，则，故B错误；由，得，即.又，得，又在上单调递减，则，故C正确；由前面知，得，又由，得，则，.故D正确.13 14 15 16【详解】由题意得，取中点，连接，设双曲线C的右焦点为，连接，因为，所以，又A，B为线段的两个三等分点，所以，即为的中点，又为的中点
8、，所以，故，设，则，又，由勾股定理得，则，由双曲线定义得，即，在Rt中，由勾股定理得，即，由得，两边平方得，解得或（负值舍去），将代入得，故离心率为.17【详解】（1）由及正弦定理可得：，则，因为，则，所以，可得，故. （2）由于的面积为，所以，解得在中，由余弦定理得：，故，当且仅当，即，时，的最小值为.18【详解】（1）在数列中，则，则，则，所以，数列为等比数列，且首项为，所以，；（2）由（1）可知，即，可得，累加得，.，令，则，所以，.，所以，当时，.所以，.所以，数列中，最大，故.19【详解】（1）解：设事件为员工答对甲类问题；设事件为员工答对乙类问题；设事件为员工答对甲类问题；设事件为
9、员工答对乙类问题；设事件为员工答对甲类问题；设事件为员工答对乙类问题；三人得分之和为分的情况有：员工答对甲类题，答错乙类题；与员工均答错甲类题，则；员工答对甲类题，答错乙类题；与员工均答错甲类题，；员工答对甲类题，答错乙类题；与员工均答错甲类题，所以三人得分之和为分的概率为.（2）解：因为员工得分的概率为，B员工得分的概率为，员工得100分的概率为，所以，随机变量，所以，.20【详解】（1）证明：连接，分别为直三棱柱的棱和的中点，且，即，故以为原点，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ， ， ， 设，且，则， ， ，即（2）解：平面，平面的一个法向量为，由（1）知， ，设
10、平面的法向量为，则，即，令，则，又当时，面与面所成的二面角的余弦值最小，此时正弦值最大，故当时，面与面所成的二面角的正弦值最大21.【详解】(1)证明:时,令,则,当时,在上为递减函数,当时,在上为增函数,所以,而,且,所以,即.(2)在上有两个极值点等价于在上有两个不同的实数根,等价于,设,令,得,当时,在上为减函数,当时,在上为增函数,又,所以当时,方程在上有两个不同的实数根,所以的取值范围是.22【详解】（1）当点P为椭圆C短轴顶点时，的面积取最大值，结合及，解得 ，故椭圆C的标准方程为 .（2）设点，若直线PQ的斜率为零，由对称性知，则，不合题意.设直线PQ 的方程为 ，由于直线PQ不过椭圆 C 的左、右顶点，则 联立 得，由可得 ，所以,解得 即直线PQ的方程为，故直线PQ过定点 .由韦达定理可得，由平面几何知识，所以，设，则，当时，故在单调增，因为，所以，因此，的最大值为.
