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1、用最小二乘法进行多项式拟合（matlab实现）西安交通大学徐彬华算法分析：对给定数据（兀.Tj （i=0 ,l,2,3,.,m）,共m+1个数据点，取多项式P（x）,使mm、订=imnr=0_ AO函数P（x）称为拟合函数或最小二乘解，令似购（幻二作丿使得i-0工氏（）-兀，工工吩；-yr= I】血2-01-0 Jt-fl/其中，a0，al,a2,.,an为待求未知数，n为多项式的最高次幂，由此，该问题化 为求的极值问题。由多元函数求极值的必要条件：企=2空逹工儿）理二0 j=丄,nji=0 圧=0得到：这是一个关于a0，a1,a2,an的线性方程组，用矩阵表示如下:r .nJ7i7 = 0/
2、=0J_JO_因此，只要给出数据点;； 及其个数m,再给出所要拟合的参数n则即 可求出未知数矩阵（a0， al,a2,an）试验题1编制以函数（k1为基的多项式最小二乘拟合程序，并用于对k = 0下列数据作三次多项式最小二乘拟合（取权函数wi=1）xi-1.0-0.50.00.5101.52.0yi-4.447-0.4520.5510.048-0.4470.5494.552总共有7个数据点，令m=6第一步：画出已知数据的的散点图，确定拟合参数 n; x=-l.0:0.5:2.0;y=-4.447,-0.452,0.55l,0.048,-0.447,0.549,4.552; plot(x,y,*
3、)xlabel x 轴ylabel y 轴title 散点图hold on散点图因此将拟合参数n设为3.第二步：计算矩阵A=工 -7-01-0fl?D2?=0mmf=0/=0z.z-0fflhf=0r=0注意到该矩阵为（n+1） *（n+1）矩阵,多项式的幂跟行、列坐标（i,j）的关系为i+j-2，由此可建立循环来求矩阵的各个元 素，程序如下：m=6;n=3;A=zeros(n+1);for j=1:n+1for i=1:n+1for k=1:m+1A(j,i)=A(j,i)+x(k)人(j+i-2)endendend;再来求矩阵B=0 0 0 0;for j=1:n+1for i=1:m+1
4、B(j)=B(j)+y(i)*x(i)A(j-1)end end第三步：写出正规方程，求出a0,a1，an.B=B; a=inv(A)*B;第四步：画出拟合曲线x=-1.0:0.0001:2.0;z=a(l)+a(2)*x+a(3)*x.A2+a(4)*x43;plot(x,z)legend(离散点,y=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.A2+a(4)*x.A3) title (拟合图)总程序附下：x=-1.0:0.5:2.0;y=-4.447,-0.452,0.551,0.048,-0.447,0.549,4.552; plot(x,y,*)xlabel x 轴ylabel y 轴title 散点图hold onm=6;n=3;A=zeros(n+1);for j=1:n+1for i=1:n+1for k=1:m+1A(j,i)=A(j,i)+x(k)A(j+i-2)endend end;B=0 0 0 0;for j=1:n+1for i=1:m+1B(j)=B(j)+y(i)*x(inj-l)end endB=B;a=inv(A)*B;x=-l.0:0.000l:2.0;z=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.A2+a(4)*x.A3;plot(x,z)legend(离散点,y=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.A2+a(4)*x.A3) title (拟合图)
