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1、目 录目 录第1章 数理统计基本概念11.1 总体与样本11.1.1 简单随机样本11.1.2 有限总体的无放回样本31.2 统计量31.2.1 样本k阶矩31.2.2 顺序统计量41.2.3 经验分布函数41.3 三个常用分布61.3.1 分布61.3.2 t分布71.3.3 F分布8第2章 参数估计102.1 点估计102.1.1 无偏性102.1.2 有效性122.1.3 相合性122.2 区间估计132.2.1 单正态总体均值的置信区间132.2.2 单正态总体方差的置信区间142.2.3 两正态总体均值差的置信区间152.2.4 两正态总体方差比的置信区间15第3章 假设检验173.
2、1 假设检验的基本概念173.2 正态总体参数的假设检验193.2.1 单正态总体均值的假设检验193.2.2 单正态总体方差的假设检验203.2.3 两正态总体均值的假设检验213.2.4 两正态总体方差的假设检验213.2.5 大样本非正态总体均值的假设检验223.5 总体分布的假设检验233.5.1 检验23第4章 回归分析264.1 一元回归分析264.1.1 回归方程的计算264.1.2 回归方程的显著性检验274.2 多元回归分析304.2.1 多元回归方程的计算304.2.2 显著性检验314.2.3 逐步回归分析34I第1章 数理统计基本概念第1章 数理统计基本概念1.1 总体
3、与样本总体：研究对象的全体。一维或多维数量指标。随机变量。个体：每个研究对象。样本：总体的一部分。1.1.1 简单随机样本，i.i.d，独立同分布。无限总体抽样。在Matlab中各种随机数可以认为是独立同分布的，即简单随机样本。以下罗列在Matlab中的实现方法。，均匀分布样本 n=10;x=rand(1,n) n=10;a=-1;b=3;x=rand(1,n);x=(b-a)*x+a，正态分布样本 n=10;x=randn(1,n)mu=80.2;sigma=7.6;m=1;n=10;x=normrnd(mu,sigma,m,n)上面首先对总体均值赋值mu=80.2;再对标准差赋值sigma
4、=7.6; m=1;n=10;分别对生成的随机阵对的行数和列数进行赋值，然后可直接利用Matlab自带的函数normrnd生成正态分布的随机数。类似地可生成m行n列的随机矩阵，服从指定的分布。生成随机数的函数后缀都是rnd，前缀为分布的名称。常用分布的随机数产生方法罗列如下，注意使用前先要对参数赋值。x=betarnd(a,b,m,n) 参数为a,b的beta分布；x=binornd(N,p,m,n) 参数为N,p的二项分布；x=chi2rnd(N,m,n) 自由度为N的分布；x=exprnd(mu,m,n) 总体期望为mu的指数分布；x=frnd(n1,n2,m,n) 自由度为n1与n2的F
5、分布；x=gamrnd(a,b,m,n) 参数为a,b的分布；x=lognrnd(mu,sigma,m,n) 参数为mu与sigma的对数正态分布；x=poissrnd(mu,m,n) 总体均值为mu的Poisson分布；x=trnd(N,m,n) 自由度为N的T分布；Matlab统计工具箱中还有一些其它分布，不再一一列举。对于已知密度函数的不常用连续型总体，若想产生服从该分布的随机数，可用如下方法。例1.1 设总体密度函数为试从该总体中抽取容量为1000的简单随机样本。解 利用matlab编辑窗口保存以下程序，保存为ex11.mn=1000;x=zeros(1,n);k=0;while kn
6、 a=rand*pi-pi/2; b=rand/2; if b=x(k) s=s+1; end end y(i,j)=s/N; endend1.3 三个常用分布以下罗列出数理统计中三个重要分布的概念与性质。1.3.1 分布 定义1.2 设一维连续型随机变量的密度函数为 （1-2）则称服从自由度为的分布，记为。图1-2 分布密度函数示意图（1）期望与方差：，（2）来源：若独立同分布，则（3）可加性：若，且两者独立，则有(4)重要结论：若，则以下给出了自由度为5,10,20的分布的密度函数，如图1-2所示。1.3.2 t分布 定义1.3 设一维连续型随机变量的密度函数为 （1-3）则称服从自由度为
7、的分布，记为。图1-3 t分布密度函数与标准正态分布密度函数（1）密度函数特点：与标准正态分布类似，方差较大。时，（标准正态分布密度函数）执行Matlab命令x=-3:0.01:3; y5=tpdf(x,5);y10=tpdf(x,10);y20=tpdf(x,20);y=normpdf(x);plot(x,y5,x,y10,x,y20,x,y)得到自由度为5，10，20的分布密度函数及标准正态分布密度函数的图形，如图1-3所示。（2）来源：设，且两者独立，则（3）重要结论：设，则1.3.3 F分布 定义1.4 设一维连续型随机变量的密度函数为 （1-4）其中常数则称服从第一自由度，第二自由度
8、的F分布，记为。（1）密度函数特点：在附近密度函数取值较大，为单峰非对称的。当两个自由度都很大时，取值以较大概率集中在附近。以下Matlab命令画出了的密度函数。x=0:0.01:3;y=fpdf(x,8,12);plot(x,y);结果如图1-4所示。图1-4 F分布密度函数（2）来源：设，且两者独立，则（3）重要结论：设为来自总体的简单随机样本，为来自总体的简单随机样本，且两者独立。又设两个样本方差分别为与，则37第2章 参数估计第2章 参数估计2.1 点估计点估计：对于给定的总体和样本，如果用某个统计量的值估计总体的某个未知参数，这种估计方法称为点估计，该统计量称为点估计量。例如用样本均
9、值估计总体均值，用样本方差估计总体方差，都属于点估计。 常用的求点估计量的方法有：矩估计法、最大似然估计法，是考研究生要求掌握的方法，常用教材都有详细叙述。对于同一个未知参数，常有多种估计方法，如何选择？这涉及到估计量的评价标准。常从以下三个不同角度考察。2.1.1 无偏性 定义1.5 设总体含有未知参数，为来自总体的简单随机样本，又设为的一个估计量。若在给定范围内无论如何取值，总有，则称为的一个无偏估计量；若，则称为的一个有偏估计量。注意无偏估计的含义是：由于样本的随机性，估计值有时候偏大，有时候偏小，多次估计的平均值才能靠近真实的未知参数值。无论无偏估计还是有偏估计，可以统一使用“均方误差”MSE评价： （2-1）对于无偏估计，但可能很大，果真如此，它就不是一个好的估计量。反之，对于有偏估计，虽然，但如果与相加之后仍然较小，则它就是一个较好的估计量。例2.1 设总体，为来自总体的简单随机样本，欲估计总体均值（注意未知），比较以下三个点估计量的好坏：，解 本例题给出了利用MSE评价点估计量的随机模拟方法。由于的总体均值为，因此我们可以先取定一个固定值，例如，然后在这个参数已知且固定的总体中抽取容量为20的样本，分别用样本值依照三种方法分别计算估计值
