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1、2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征高三（1）班 李庭洲一、 教材分析 （一）教材地位与作用本节课选自人教A版必修三，第二章第二节第二讲，是一节典型的概念课，是在已经学习了抽样方法、用图、表来组织样本数据，用样本的频率分布估计总体分布的基础上，进一步挖掘样本，从形的角度，利用样本的频率分布直方图来估计总体的数字特征，从而使我们能从整体上更好地把握总体的规律，并体会用样本估计总体的思想，以及统计思维与确定性思维的差异.本课所学内容有良好的实际应用价值，它能为我们对相关问题作出统计推断和决策提供数理依据。因此学好本节课能帮助学生逐步建立用样本估计总体的统计思想，提高学生数据处理、解决实际问
2、题的能力。（二）教学目标1、理解众数、中位数、平均数在样本数据中所代表的含义；2、会运用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数；从“形”的角度估计总体的数字特征，并作出合理的解释，体会数形结合的数学思想.3、理解在利用众数、中位数、平均数估计总体的数字特征时各自的优缺点；能通过对生活实例的分析认识数字特征的作用和局限性，会应用数字特征解决简单的实际问题并作出合理的决策.感受统计在实际问题中的应用价值，体会数学知识与现实生活的联系.4、掌握用样本的众数、中位数、平均数估计总体数字特征的方法，形成数学思想方法。在解决统计问题的过程中，通过自主探索与合作交流，经历数字特征的生成过程，会用样本的数字特
3、征估计总体的数字特征，体会用样本估计总体的思想。体验数形结合的思想方法，化归转化的思想方法在数学学习中的应用。这个过程融入了社会主义核心价值观教育，体现自由与和谐的课堂教育。（三）教学重、难点教学重点：众数、中位数、平均数在样本数据中所代表的含义，利用频率分布直方图估计样本数字特征，并利用它们估计总体数字特征，形成初步评价意识。教学难点：如何从样本的频率分布直方图中提取数字特征，并以此估计总体的基本数字特征。二、学情分析1.学生已有的认知基础通过小学、初中和高中前期的学习，学生已有“统计初步知识”的数学现实，能从样本中直接提取样本的数字特征，能够用频率分布直方图来呈现数据的分布形态，现实生活中
4、很多数量化的实际问题也为学生的认知提供了经验基础。2. 学生面临的问题学生对统计思想的认识还停留在表层，对用频率分布直方图估计总体的数字特征从形到数的提取过程有思维转化上的困难；应用数字特征解决简单的实际问题并作出合理的决策也对学生提出了有较高的能力要求。三、教法与目标检测数学教育学家波利亚曾经说过：“学习任何知识的最佳途径即是由自己去发现，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系.”我在教法上采用的是“问题探究式教学”,学法上采用“自主探究、合作交流”的方法.采用问题驱动和启发探究式教学，始终以学生体验为出发点，采用设置问题串的形式，通过对问题进行分解、追问的方式、结合
5、生活实例进行实践调查等方式，引导学生构建新的认知结构，达成目标教学，教师仅起到“助产士”的作用。根据现代教学理论，本课采用多媒体课件，突出学习方法指引，让学生在生动具体的情境中感悟知识的发生和发展过程。学生自主探究过程中，教师通过“参与式指导”，收集反馈信息；通过适时指导，调节学生的探究进程.在全班展示交流时，通过教师的点评或追问，引导学生调节自己的思维活动，促使探究问题的解决。四、教学过程：回忆上节课的内容，如何绘制频率分布直方图？（注意强调面积即频率）什么是众数、中位数、平均数？一定存在吗？如果有，有几个呢？(学生回答)众数：在一组数据中,出现次数最多的数称为众数中位数：在按大小顺序排列的
6、一组数据中,居于中间的数称为中位数平均数：一般是一组数据和的算术平均数（设计说明：复习巩固旧知，学生在复习回顾旧知的基础上学习新知识，有助于学生从“最近发展区”构建新知.）图片展示说明生活中需要我们由“形”提取“数”，举例讨论某次数学考试你对某同学的成绩该如何较合理的分析。（设计说明：引导学生，无原始数据获取数据特征的方法，强调“估计”。展示学习本课的现实意义，明确了学习的必要性，说明数学源于生活，服务于生活，通过图片视觉效果，唤起学生的求知欲和学习兴趣，激发参与意识。并自然过渡到新课估计众数、中位数、平均数）如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数？（一） 、问题解决：问题1：如何利用
7、频率分布直方图估计众数？ 问题分解：（1）众数应该落在哪个分组？为什么？ （2） 用该分组的哪个值来表示众数？为什么？答：众数应该落在2,2.5)这一分组，因为这一分组的频数最大。用该分组的区间中点值来表示众数，中点值更据代表性，误差小，反应了数据的最大集中点。（设计说明：学生未必回答的清楚，教师可给予适当的解释。并强调我们就用每一分组的区间中值来代表落在该分组的数据，为后续求值服务。追问：请大家翻回到课本看看原来抽样的数据，有没有2.25这个数值呢？根据众数的定义，2.25怎么会是众数呢？为什么？这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了,而2.25是由样本数据的频率分布直方图
8、得来的,所以存在一些偏差.（设计说明：体会统计思想与真实值间的差异）问题2：如何利用频率分布直方图估计中位数：（学生小组活动并展示）。问题分解：（1）按照中位数的定义，对该组数据排序后中位数应该位于这组数据的什么位置？答：数据的中间值。（2）数据的中间值，在直方图上如何体现？答：数据的中间值，则它两边的数据个数一样多，即它两边的频数一样，进而它两边的频率一样，在直方图上反应出来就是中位数两边的矩形面积相等。（3）中位数两边的矩形面积为多少？答：1/2，直方图中所有矩形面积和为1，一半就是1/2。（4）首先确定中位数的大致位置应该在哪里？答：前4组面积和为0.49，故中位数的位置应该在2,2.5
9、)间。所以可以设中位数为2+x,则一小部分的频率为0.5x,所以：0.49+0.5x=0.5解得：x=0.02所以中位数为2.02。（学生活动展示的基础上教师讲解，应该体现方程思想）追问:2.02这个中位数的估计值，与样本的中位数值2.0不一样，你能解释其中的原因吗？原因同上：样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了（设计说明：体会统计思想与真实值间的差异。）问题3：如何利用频率分布直方图估计平均数（学生小组活动、展示）问题分解：（1）平均数的公式是什么？答：（3） 原始数据如果已经不存在，如何估计它们的和？（4） 答：每一分组的中值与频数的乘积的和。（3） 能否做变式？拆项后表示什么
10、？答：每一分组的频率，即每一矩形的面积。（设计说明：教师提示并分析两种式子的特点，也称为加权平均数，最后的式子可以忽略样本容量n的值，引导学生能根据具体实际进行选择。）小结：众数：最高矩形的中点的横坐标；中位数：在频率分布直方图中，中位数的左右两边的直方图的面积相等，都为0.5；平均数：每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标的和（数学思想方法阐释：数与形的转化,许多数量关系的抽象概念若能赋予几何意义，往往变得直观形象，有利于解题途径的探求；另一方面，一些涉及图形的问题如能化为数量关系的研究，又可以获得简捷而一般的解法。这就是数形结合的相互转化。本例通过由“数”转化“形”，再由“形”探究得到“数
11、”的方法，充分体现了数与形的相互转化的数学思想方法。问题3还推导得出了求平均数的一般公式，也体现了有特殊到一般的转化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批的处理问题的效果。）（二）、例题讲解例.我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，成都市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费。下面是居民月均用水量的抽样频率分布直方图，（1）试估计成都市居民月均用水量的众数、平均数.（2）如果希望85%的居民月均用水量不超过标准a，那么标准a定为多少比较合理？（设计说明：
12、本例以教材为原型改编，让学生感受统计在实际问题中的应用价值，强化所学新知，突破重难点。）（数学思想方法阐释：数学解题过程事实上就是把问题由陌生向熟悉的转化过程，注意类比以前解决过的问题，找出其共性和差异性，应用解题中，通常表现为构造熟悉的事例模型，在待解决问题和已解决问题之间进行转化）（三）、深入理解:下表是该公司月工资报表:（1）请观察表中的数据,计算该公司员工的月平均工资是多少?经理是否忽悠了小范?（2）技术员C与技术员D是否忽悠了小范？他们又是用的数据中的那些量呢？问题:总结在利用众数、中位数、平均数估计总体的数字特征时各自的优缺点。分析：（学生讨论回答）众数：优点：体现了样本数据的最大
13、集中点；缺点：只能表达样本数据很少的一部分信息，无法客观反映总体特征。中位数：优点：不受少数几个极端值的影响；缺点：对极端值不敏感。平均数：优点：反映出更多的关于样本数据全体的信息；缺点：任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，样本数据越少平均数越不准确，所以在评委给选手评分时为减少误差通常会去掉一个最高分和一个最低分。（设计说明：以故事的形式呈现具体应用实例，引导学生能根据具体实际进行选择与决策，区分三者的优缺点，让学生明白了仅评某个统计数据决策是有风险的，应综合考虑从而做出合理决策。）（四）、课堂小结：1、如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数？利用频率分布直方图估计众数、中位数、
14、平均数。估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字.（最高矩形的中点）估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等。估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。2、 利用众数、中位数、平均数估计总体的数字特征时各自的优缺点。众数、中位数、平均数都是对数据中心位置的描述，可以作为总体相应特征的估计。样本众数易计算，但只能表达样本数据中的很少一部分信息，不一定唯一；中位数仅利用了数据中排在中间数据的信息,与数据的排列位置有关；平均数受样本中的每一个数据的影响,绝对值越大的数据，对平均数的影响也越大。三者相比，平均数代表了数据更多的信息，描述了数据
15、的平均水平，是一组数据的“重心”。教后反思：教学过程围绕核心任务进行探究，在探究的过程中，学生做好了“思维体操”.从“数”到“形”，先直接在样本中求这三个数字特征，帮助学生回顾知识和方法，为在直方图中估计数字特征做铺垫，帮助学生在已有的知识和经验上构建新知，是自然顺畅的认识过程.这是“数”到“形”的过程，是知识和方法自然生长的过程.这样做，一方面是为了落实课标意图，另一方面也是考虑到从学生的已有知识出发认识新知识.同时掌握好化归与转化的思想方法对学好高中数学是非常有帮助的。本节课通过大量案例，让学生在实际案例中主动探索体会用样本的某些数字特征估计总体的数字特征，注意体现学生的主体地位。讲练结合，以练为主，起到了预期的效果。
