《圆锥曲线的综合问题分题型整理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆锥曲线的综合问题分题型整理（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、圆锥曲线的综合问题知识梳理1直线与圆锥曲线C的位置关系将直线l的方程代入曲线C的方程，消去y或者消去X,得到一个关于x（或y）的方程ax2bxc=0（1）交点个数 当a=0或aMO,/=0时，曲线和直线只有一个交点； 当aMO,/0时，曲线和直线有两个交点； 当/0时，曲线和直线没有交点；（2）弦长公式：(xx)24xx1212I AB1=1+k2IxxI二1+k2212. 对称问题：曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（/0）曲线上两点的中点在对称直线上3. 求动点轨迹方程 轨迹类型已确定的，一般用待定系数
2、法 动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的，一般用直接法 一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法重难点突破重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法；理解和掌握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值难点：轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题重难点：综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题1. 体会“设而不求”在解题中的简化运算功能 求弦长时用韦达定理设而不求 弦中点问题用“点差法”设而不求2. 体会数学思想方法（以方程思想、转化思想、数形结合思想为主）在解题中运用问题1:已知点件为椭圆电=1的左
3、焦点，点A（1,1）,动点P在椭圆上，则PA+的最小值为点拨：设f2为椭圆的右焦点，利用定义将|PF转化为|PFJ，在结合图形，用平面几何的知识解决。PAPF1=6+PAPF2，当P，A，柑共线时最小，最小值为6-迈热点考点题型探析考点1直线与圆锥曲线的位置关系题型1：交点个数问题例1设抛物线y2=8x的准线与X轴交于点Q，若过点Q的直线/与抛物线有公共点，则直线l#的斜率的取值范围是（）A112.2B2，2C1，1D4，4#【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法解析易知抛物线y2二8x的准线x=，2与X轴的交点为Q（-2,0）,于是，可设过点Q（-2,0）的直线l的方程
4、为y二k（x+2），|y2=8x,联立0，可解得，1k1，应选C.【名师指引】（1）解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法（2）直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴（抛物线）或平行于渐近线（双曲线）（3）联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对A进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行讨论【新题导练】1已知圆x2+y2+mx-1=0与抛物线y=1x2的准线相切，则m的值等于（）44A.*：2B.冷3C.D.、：32已知将圆x2+y2=8上的每一点的纵坐标压缩到原来的2，对应的横坐标不变，得到曲线C；设M（2,1），平行于0M的
5、直线l在y轴上的截距为m（mM0）,直线l与曲线C交于A、B两个不同点.（1）求曲线C的方程；（2）求皿的取值范围.3.求过点（0,1）的直线，使它与抛物线y2=2x仅有一个交点.题型2：与弦中点有关的问题例2已知点A、B的坐标分别是（i,0）,（1,0）直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积为2.（I）求动点M的轨迹方程；（1仃I）若过点N2，1的直线l交动点M的轨迹于C、D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程.V2丿解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组，利用韦达定理求解解析(I)设M(x,y),-kBM=-2，所以=_2(x1)化简得：2x2+y2=2(x1)x+1x一1
6、(H)设C(x1，y1),D(x2,y2)当直线l丄X轴时，直线l的方程为x二2，则C（冲D（2,-，其中点不是N,不合题意#设直线l的方程为y-1=k(x-2)将C(x1,y1),D(x2,y2)代入2x2+y2二2(x1)得(1)2x2+y2=222(2)(1)-(2)整理得：k=人一y2=_2(曽x2)=x-x(y+y)12122x1直线l的方程为y-1=-1（x-2）即所求直线l的方程为x+2y3=0解法二：当直线l丄x轴时，直线l的方程为x=*，则c（2,），D（2，弓色），22222其中点不是N,不合题意.故设直线l的方程为y-1=k（x-2），将其代入2x2+y2=2（x022(
7、1)由韦达定理得k2k(1-2)x+x=，122+k2k(1-2)2-2x-x=122+k2(2)(3)k(1)171又由已知N为线段CD的中点，得X1+x2,2，解得k,2 2+k2将k=-1代入(1)式中可知满足条件.此时直线l的方程为y1，2(x2),即所求直线l的方程为x+2y3=0【名师指引】通过将c、d的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减.这里，代点相减后，适当变形，出现弦pq的斜率和中点坐标，是实现设而不求(即点差法)的关键.两种解法都要用到“设而不求”它对简化运算的作用明显，用“点差法”解决弦中点问题更简洁【新题导练】1. 椭圆x2+y2，1的弦被点p(2，1)
8、所平分，求此弦所在直线的方程164x2y22. 已知直线y=x+1与椭圆+，1(ab0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：a2b2x2y=0上，求此椭圆的离心率题型3：与弦长有关的问题例3已知直线y=2x+k被抛物线x2，4y截得的弦长AB为20，O为坐标原点.(1) 求实数k的值；(2) 问点C位于抛物线弧AOB上何处时，ABC面积最大?【解题思路】用“韦达定理”求弦长；考虑ABC面积的最大值取得的条件解析(1)将y=2x+k代入x2，4y得x2一8x一4k，0，由厶，64+16k0可知k4，另一方面，弦长AB5,64+16k20，解得k=1；(2)当k1时，直线为y2x+1，要使
9、得内接ABC面积最大，1则只须使得y=x2x=2，C4C即Xc4，即C位于(4,4)点处.【名师指引】用“韦达定理”不要忘记用判别式确定范围【新题导练】1.已知椭圆C:-+兰1(ab0)与直线x+y-10相交于两点A、B.1a2b2(1) 当椭圆的半焦距c1，且a2,b2,c2成等差数列时，求椭圆的方程；2.已知点AB(3,0),动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2,点C的轨迹与直(2) 在(1)的条件下，求弦AB的长度1AB1；线yx-2交于D、E两点，求线段DE的长.考点2：对称问题题型：对称的几何性质及对称问题的求法(以点的对称为主线，轨迹法为基本方法)x2y2例4若直线1过圆x2+
10、y2+4x2y0的圆心M交椭圆C:+=1于A、B两点，若A、B94关于点M对称，求直线L的方程.解析M(2,1)，设A(x,y),B(x,y)，则x+x=-4,y+y=211221212口x2y2x2y2x2，x2y2y2_又+11,+41，两式相减得：T2+丄厂0,949494化简得4(x+x)(x-x)+9(y+y)(y-y)=0,12121212y-y8把x+x=-4,y+y=2代入得k=牙=1212ABx-x912故所求的直线方程为y一1=一2(x一2)，即x+2y一40所以直线l的方程为：8x-9y+25=o.【名师指引】要抓住对称包含的三个条件：(1)中点在对称轴上(2) 两个对称
11、点的连线与轴垂直(3) 两点连线与曲线有两个交点(0)，通过该不等式求范围【新题导练】1. 已知抛物线y22px上有一内接正AOB,0为坐标原点求证：点A、B关于X轴对称;2在抛物线y24x上恒有两点关于直线ykx+3对称，求k的取值范围.2. 若抛物线yax2-1，总存在不同的两点A、B关于直线y+x=0对称，求实数a的范围.考点3圆锥曲线中的范围、最值问题题型：求某些变量的范围或最值例5已知椭圆C:兰真=1（a,b,0）与直线x+y-1二0相交于两点A、B.当椭圆的离心1a2b2率e满足害e手，且OAOB=0（O为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围【解题思路】通过“韦达定理”沟通a与e的
12、关系解析由b2x2+a2y2=a2b2，得(a2+b2)x2一2a2x+a2(1-b2)=Orx+y一1=0由二2a2b2(a2+b2一1),0，得a2+b2,12a2a2(1-b2)此时x+x=,xx=k2a2+b212a2+b2由OAOB=0，得xx+yy=02xx-(x+x)+1=012121212,a2即a2+b2一2a2b2=0，故b2=2a2一1c2a2一b2由e2=，得b2=a2一a2e2a2a2.2a2=1+丄_1一e2由兰e2得5a23,.J52a63 242所以椭圆长轴长的取值范围为&5八【名师指引】求范围和最值的方法：几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解
13、决问题代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值【新题导练】x2y211.已知P是椭圆C：+匚=1的动点，点A（0）关于原点0的对称点是B,若|PB|的最小值为4 223，求点P的横坐标的取值范围。#2.定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2x上移动，记线段AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标.3直线m：y=kx+l和双曲线x2-y2=1的左支交于A,B两点，直线l过点P(-2,0)和线段AB的中点M,求l在y轴上的截距b的取值范围.x2y24已知椭圆25+葺1,A(4,0),B(2,2)是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点,求：(1)求41PA1+1PB1的最小值；(2)
14、求Ipa|+|pb|的最小值和最大值.5定长为3的线段AB的两个端点在y=X2上移动，AB中点为M,求点M到x轴的最短距离。#点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x,x，从而形成y关于x的函数，这是一1200种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边)的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F,而且点M的坐标也不能直接得出。考点4定点，定值的问题题型：论证曲线过定点及图形(点)在变化过程中存在不变量x2y26例6已知P、Q是椭圆C：+1上的两个动点，M(1,)是椭圆上一
