正方体截面问题

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1、正方体截面问题课题:正方体截面问题班级:高二(2)班 小组:数学兴趣小组 指导老师:王长喜 组员:崔云鹏、庹元杰、张成昊、杨浩、陈一峰、尚世伟、彭世宇 组长:张皓楠 课题目的:探索正方体可能的截面形状，通过实践和图示来证明其结果，列举 特例，拓展空间观念与全面考虑问题的能力。 探究方法:首先通过猜想，列举出 预计猜想到的截面，其次进行画图和实践等方法证明猜想得正确与否。再通过网络的资料查询，寻找未猜想到的情况。 大题小做:什么叫几何板的截面, 问题 1 答:一个几何和一个平面相交所得到的平面图形 (包含它的内部)，叫做几何体 的截面。 问题 2:截面的边是如何得到的,答:截面的边是平面和几何体

2、各面的交线。 问题 3:正方体是立体几何中一个重 要的模型， 它是一种非常对称的几何体。如果我们拿一 个平面去截一个正方体那 么会得到什么形状 的截面图呢,截面图最多有几条边,答:因为正方形只有六个面，所以它与平面 最多有六条交线，即所截到得截面图最都有 六条边。所以截图可能是三角形，四边形， 五边形，六边形。探究 1:截面图为三角形时，有几种情况, 1.是否可以截出等腰三角形: (1)解析:AaCcB bA如上图，一正方体被一平面所截后得到截面 abc 若截面三角形 abc 是以为be底的等腰三角形，那么只要三角形Aba全等于 三角形Aea就可以截到。所以，截到等腰三角形的情况存在。 (2)

3、做法:在一棱AA上取a在棱AB.AC上取Ab.等于Ac.就可得到以be为底的等腰三角abc。(3)证明：因为角bAa等于角eAa， Aa边公用，Ab 等于 Ae，所以三角形全等于三角形。所以ba等于ea,所以三角形 abe 是以为 be 底的等腰三角形。 2.是否可以截出等边三角形： (1) 解析AaCebBA一正方体被一平面截后得到三角形abe，若三角形abe是等边三角形，只要三角形aAb,aAc, bAc两两全等就可以得到。所以，截到等边三角形的情况存在。 (2)做法:在棱AA,AB.AC上分别取Aa等于Ab等于Ac就可以得到三角形abc为等边三角形。 (3)证明:因为Aa等于Ab等于Ac

4、，角bAa等于角cAa,所以，三角形bAa全等于三角形cAa。所以ab等于aco同理可证ba等于bc,ca等于cb。所以三角形是等边三角形。3.是否可以截出直角三角形:AaCcB bA解析:若一正方体被一平面截后角acb是直角，那么就有:ac2+cb2=ab2.因为角adb是直角，所以ab2=db2+ad2;因为角adc是直角，所以ac2二ad2+cd2;因为角bdc是直角，所以bc2二db2+cd2.所以 ad2+cd2+db2+cd2=db2+ad2.化简后得2cd2=0. 所以，这截得是普通三角形，不是直角三角形。小结:用以平面去截正方体只 能截到三边形: (1)等腰三角形，(2) 等边

5、三角形，(3) 普通三角形;(4) 不能截出直角三角形。探究 2:如果，截面为四边形，那么，可以截出哪几类呢? 1.是否可以截出长方 形:分析:过一正方体的一棱有无数个矩形， 只要长宽不等，就是长方形。所以， 存在这一情况。a bcd 做法 : 如上图;取正方体一棱， 过棱沿一个不与原表面重合的平面截下， 就可以得到一个矩形。证明:设原棱长为 a， 因为过棱沿一不与原表面重合的平面截下， 所以 bd 大于 ab， 因为过一正方体的一棱有无数个矩形， 而截面不是正方形， 所以截面是矩形。2.是否可以截出正方形: 分析:正方体六个表面都 是正方形只要用一垂直于 原表面的平面去截正方体， 就可以得到

6、正方形。做法:用一垂直于原表面的平面去截正方体，就可以得到正方形。证明:因为垂直于原表面的在正方体的截图都是 正方形，所以截到得垂直 于原表面的平面 就是正方形。3.是否可以截出梯形:分析:用一平面从一上正方体表面斜截下去 交与底面，因为上下两底面平行 斜截下去截距不等，所以可截到梯形。CABF做法:用一平面从一上正方体表面 斜截下去交与底面就可截到 梯形。证明:平面 ABC 平行于 DEF,所以AC平行于DE;斜截下去截距不等，所以 AC 不等于 DE;所以 DECA 是梯形。小结:用以平面去截正方体只能截到四边形:(1.)长方形;(2.)正方形;(3.)梯形。探究 3:截面多边形的边数 最

7、多有几条,解析:因为正方形只有六个面，所以它与平面最多有六条交线， 即所截到得截面图最都有六条边。所以截图可能是三角 形，四边形，五边形,六边形。探究 4:截面可能是正多边形吗,可能有几种, 答:截面是正多边形有可能 可能有正三角形，正方形，正五边形，和正六边形。(如下图)探究 5:如果截面可能是三角形，其面积最大是什么?如下图:解析:截面为三角形，面积是底乘高。 底和高最大是连接正方体的三个顶点， 所以 这时三角形面积最大。 总结;A.用以平面去截正方体只能截到三边形：(1)等腰三角形，(2) 三角形，(3) 普通三角形;(4) 不能截出直角三角形。B.用以平面去截正方体只能截到四边形：(1.)长方 形;(2.) 正方形;(3.) 梯形。C. 用以平面去截正方体还能截到五边形,六边形。课后反思：1：截图有可能是等腰梯形吗,2：截到五边形,六边形有哪几类, 3：从这个课题还可以延伸到什么, 探究启示： 创新所带给人的精神愉悦是任何物质享受和感官享乐所无法比拟的， 那是灿烂的生命之花最深沉、最辉 煌、 最恣意的绽放，从某种意义上说， 创新是自我实现的最高表现形式，教育作为人道主义的事业，理所当然应该关注个人生的提升。