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1、2021高二数学寒假作业同步练习题:数列大题专项训练专题12 数列大题专项训练一、巩固基础知识1已知数列是递增的等差数列,、成等比数列。(1)求数列的通项公式;(2)若,数列的前项和,求满足的最小的的值。【解析】(1)设的公差为(),由条件得:,解得,;(2),由得,满足的最小值的的值为。2已知等比数列的前项和为,且()。(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足,求数列的前项和。【解析】(1)当时,当时,即,等比数列的公比是,即,故,故数列是首项为,公比为的等比数列,;(2)由(1)知,又,故,则, ,两式相减得,。3已知数列满足,为的前项和,。数列为等比数列且,。(1)求的值;(2)记,其前
2、项和为,求证:。【解析】(1)由得数列为等差数列,设公差为,则由,得:,解得,由且得;(2)设的公比为,由(1)可知,易知随着的增大而增大,。4已知数列是等比数列,其前项和是,且()。(1)求数列的通项公式;(2)设(),求数列的前项和。【解析】(1),则,则,解得,;(2),设,则,-得,。5已知等差数列的前项和为,、成等比数列。(1)求数列的通项公式;(2)若数列的公差不为,求证:(,)。【解析】(1)是等差数列,设公差为,、成等比数列, 解得或,或;(2)公差不为,令,当时,原式 。二、扩展思维视野6已知数列的前项和为,且(,)。(1)设,求证:数列为等比数列;(2)求数列的前项和。【解
3、析】(1)由已知得,即(),(),又,且,故数列是首项为、公比为的等比数列;(2)由(1)知,则,设, ,两式相减得:,解得,数列的前项和。7在公差不为的等差数列中,、成等比数列。(1)已知数列的前项和为,求数列的通项公式;(2)若,且数列的前项和为,若,求数列的公差。【解析】(1)设等差数列的公差为(),由、成等比数列可得:,即,即,由数列的前项和为得:,即,解得, 数列的通项公式为:;(2),数列的前项和,又由(1)可知,即,即,即,解得或。8已知等差数列的前项和为(),数列是等比数列,满足,。(1)求数列和的通项公式;(2)令,设数列的前项和,求。【解析】(1)设等差数列的公差为,等比数
4、列的公比为(), ,;(2)由(1)可得,则,即,当为奇数时,当为偶数时,。9已知等差数列和等比数列,其中的公差不为,设是数列的前项和,若、是数列的前项,且。(1)求数列和的通项公式;(2)若数列为等差数列,求实数。【解析】(1)设的公差为,且,设的公比为,且,、是数列的前项,则,即,化简得,又,化简得,解得,、是数列的前项,则,(2)由(1)可知,数列为等差数列,即数列为等差数列, 设,则,则,(注意:正常数列是不允许代数的,但当已知数列是等差或等比的时候就可以代数了)则,化简得,解得、,当时,是首项为,公差为的等差数列,可取,当时,是首项为,公差为的等差数列,可取,综上实数可取或。三、提升
5、综合素质10设为数列的前项和,已知,且。(1)求的通项公式;(2)若点在函数的图像上,求证:。【解析】(1),且,且,数列为等比数列,且公比,解得,;(2)由(1)可得,点在函数的图像上,又,原式得证。11已知数列中,且。(1)求证:数列和都是等比数列;(2)求数列的前项和。【解析】(1)证明:,是以为首项,为公比的等比数列,是以为首项,为公比的等比数列,;(2)由(1)知;由解得,验证,适合上式,。12已知各项均为正数的数列的前项和为,且。(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和为,求。【解析】(1),即,当时,即,解得,当时,化简得,又数列各项均为正数,数列是首项为、公差为的等差数列,;(2)设,由(1)得,则 。