向量的坐标表示

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1、4.1 平面向量 （四）平面向量的直角坐标及运算一、 复习旧知：（1）坐标系和点的坐标表示；（2）数和向量的意义和表示方法。导入：哲学家卡尔.波普尔曾指出“科学与知识的增长永远始于问 题，终于问题愈来愈深化的问题，愈来愈能启发新问题的问题”，这 对数学亦不例外。因此，在新课的引入中首先提出 “在直角坐标系内，平面内的每一个点 都可以用一对实数（即它的坐标）来表示”。同样，在平面直角坐标系内， 每一个平面向量是否也可以用一对实数来表示?”启发学生思考二、 新授：1、用坐标表示起点为原点的平面向量：i、j分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量。则一般地，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向

2、相同的两 个单位向量i、j,则对平面内任一向量a,都有唯一一对实数x、y,使 得a=xi+yj我们把有序数对（x,y）叫做向量a的直角坐标，记作a=（x,y）我们把（x , y ）叫做向量a的直角坐标，记作a （x,y）I1其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标。2、运算律： （1）两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差：a土 b = （x 土 x , y 土 y ）（其中 a = （x , y ）,b = （x , y ）1 2 1 2 1 1 2 2（2）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标：如果 A（叮,yi）,B（x , y2），

3、则 AB = （x - xy - y,；（3）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标：若 a = （x, y），贝V 九 a =（九x,九y）；例题1：用:单位向量7、j分别表示向量a、方、c、d，并求它 们的坐标；方法一: a = AVAA2=2了 +3 j，: a =（2, 3）同理b =（-2, 3），c = （-2， -3），d =（ 2， -3）方法二：A（2，2），B（4，5）7 =（4，5）-（2，2）=（4-2，5-2）（ 2， 3）同理b = （-2， 3）， c = （-2， -3）， d = （2， -3）方法二：/ OA =（2，2），OB =（4，5）

4、a = OB-OA = （4，5）-（2，2）=（ 4-2， 5-2） =（ 2， 3）同理b = （-2， 3）， c = （-2， -3）， d = （2， -3） （2， 2） = （2， 3）例题 2：已知 a= （1,2） ,b=（-5,3）,求 a+b,a-b,3a-2b 分析：用向量的运算律进行计算:拓展练习：例题3：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为 （-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点 D 的坐标；分析：本题检测如何用向量的终点和始点坐标求向量的坐标，并 利用相等向量的坐标相同，建立等量关系求D点的坐标；解：设 D 点坐标为（x，y） A7 =

5、（-1，3） - （-2，1） = （1，2） D-7C =（3， 4） -（x， y） =（3-x， 4-y）由 AB = DC 得 1=3-x ， 2=4-y ，所以 x=2 ， y=2 ，即 D 点的 坐标为(2，2)三、练习已知：点 A (2, 3)、B(5, 4)、C(7, 10),若 AP = AB +X-AC (九 w R), 试求九为何值时，点P在一、三象限角平分线上？点P在第三象限 内？四 小结:(1)用坐标表示起点为原点的平面向量：(2)运算律 五、作业：教材第 94 页 2 、 3 、 4 题练习课一、复习：(1)平面向量的坐标表示；(2)平面向量的坐标运算律导入：某人在

6、推小车，水平方向位移为s推力F的方向与地面夹角为30度，它做的功 W 等于力 F 在小推车位移： W=FScos30二、新授：1、平面向量的数量积的定义：(1) 向量a,b的夹角：已知两个非零向量a,b，过O点作OA = a，F ir *OB = b,则ZAOB=e (00e FI-；当a与b反向时，ab = - abi，特别地，a a 二 a2 二 。3、平面向量数量积的运算律（1）交换律成立：ab = ba（2） 对实数的结合律成立：b =九ab厶a兄（3）分配律成立:a 土b人c = ac 土bc = ca 土a特别注意：（1）结合律不成立：akc仪hbc ；（2）消去律不成立ir #

7、-t-r tr t * irab二ac 不能得到b二c(3) ab =0不能得到a = 0或b =0 、亠 ( ( J(4 )但是乘法公式成立：a + b a a = a；等等。土 2a b + b2(土 b) = a2 土 2a b + b2 = |a|4平面向量数量积的坐标表示(1)若 a = (x,y), b = (x ,y )则 a b =x x +y y1 1 2 2 12 12VX 2 + y 2(2)右a = (x,y),则 | a | 2 = a . a =X2+y2, a 二(3 )若 A(x ,y ),B(x ,y ),则 AB = J(x - x D +(y - y 21

8、1 2 2 *21 2 1此式可以用来计算平面上任意两点间的距离。例 1：判断下列各命题正确与否：(1) 0 - a = 0 ；(2 ) 0 - a = 0 ；(3)若a 丰 0,a -b = a-c，贝Ub - c ；tr - fr fc- fc-fr- fc-3、若a - b = a - c，则b丰c当且仅当a = 0时成立；(5) (a-b)c = a-(b-c)对任意a,b,c向量都成立；(6) 对任意向量a，有a2 = a|2。例2：已知两单位向量a与b的夹角为120 0，若c = 2a -b,d = 3b-a，试求c与d的夹角。解 ： 由题意 ，I f I , f=b = 1 ,且

9、a与b的夹角为120 0 ,所以，a b c o1s2 0 =-22=c - c = (2a b) - (2a b) = 4a 4a - b + b = 7 , /. |c|同理可得 d =Vi3而B-ft-rfc-fc- -ft-!c -d= (2a b) -(3b a)= 7a- b 3b22a217空，设。为c与d的夹角,则 cos 0172、订无17阿 182一 arccos1791182点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。例 3 .已知 a =(4,3), b = (1,2),求 a. b 点评：此例展示了向量在坐标形式下的基本运算。例 4：已知点 A (-2,3)、B (3, 5),求|-解略三、练习：课堂练习 1、2 题四、小结：（1）向量数量积的意义，运算，性质必须十分的了解。（2） 两点间的距离公式AB二- x+（y y 2 2 1 2 1（3）用坐标判别两向量垂直的方法。五、作业：教材 97 页 3、 4 题。