高中数学线面角与面面角复习讲义新人教A版必修4高二

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1、高二数学(下)复习讲义(1)线面角与面面角一、知识与方法要点:1斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影,即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足,这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定,可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。2二面角的大小用它的平面角来度量,求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(要证明)。作二面角的平面角经常要用三垂线定理,关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线,并确定垂足的位置。若二面角的平面角难以作出,可考虑用射影面积公式求二面角的大小。3判定两个平面垂直,关键是在一个平面内找

2、到一条垂直于另一个平面的直线。两个平面垂直的性质定理是:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面二、例题例1正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为C1D1中点(1)求证:AC1平面A1BD(2)求BM与平面A1BD成的角的正切值解: (1)连AC,C1C平面ABCD, C1CBD又ACBD, AC1BD同理AC1A1BA1BBD=BAC1平面A1BD(2)设正方体的棱长为,连AD1,AD1交A1D于E,连结ME,在D1AC1中,MEAC1,AC1平面A1BDME平面A1BD连结BE,则MBE为BM与平面A1BD成的角在中,例2如图,把等腰直角三角形ABC以斜边A

3、B为轴旋转,使C点移动的距离等于AC时停止,并记为点P (1)求证:面ABP面ABC;(2)求二面角C-BP-A的余弦值证明(1) 由题设知APCPBP点P在面ABC的射影D应是ABC的外心,即DABPDAB,PD面ABP,由面面垂直的判定定理知,面ABP面ABC(2)解法1 取PB中点E,连结CE、DE、CDBCP为正三角形,CEBDBOD为等腰直角三角形,DEPBCED为二面角C-BP-A的平面角又由(1)知,面ABP面ABC,DCAB,AB面ABP面ABC,由面面垂直性质定理,得DC面ABPDCDE因此CDE为直角三角形设,则,例3如图所示,在正三棱柱中,截面侧面(1)求证:;(2)若,

4、求平面与平面所成二面角(锐角)的度数证明:在截面A1EC内,过E作EGAC,G是垂足,如图,面AEC面AC,EG侧面AC取AC的中点F,分别连结BF和FC,由ABBC得BFAC面ABC侧面AC,BF侧面AC,得BFEGBF和EG确定一个平面,交侧面AC于FGBE侧面AC,BEFG,四边形BEGF是 ,BEFGBEAA,FGAA,AACFGC解:(2)分别延长CE和C1B1交于点D,连结ADBACBCA60,DACDABBAC90,即 DAACCC面ACB,由三垂线定理得DAAC,所以CAC是所求二面角的平面角且ACC90CCAAABAC,CAC45,即所求二面角为45说明:如果改用面积射影定理

5、,则还有另外的解法三、作业: 1已知平面a的一条斜线a与平面a成q角,直线ba,且a,b异面,则a与b所成的角为(A)A有最小值q,有最大值B无最小值,有最大值。C有最小值q,无最大值D有最小值q,有最大值p-q。2下列命题中正确的是(D)A过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个B过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个C过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条D过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个3一条长为60的线段夹在互相垂直的两个平面之间,它和这两个平面所成的角分别为 45和30,这条线段的两个端点向平面的交线引垂线,则垂足间的距离是(A)A30B20C15D124设正四棱锥SA

6、BCD的侧棱长为,底面边长为,E是SA的中点,则异面直线BE与SC所成的角是(C)A30B45C60D905正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为,则它的侧棱与底面所成的角为6A是BCD所在平面外的点,BAC=CAB=DAB=60,AB=3,AC=AD=2. ()求证:ABCD; ()求AB与平面BCD所成角的余弦值.7正四面体ABCD中,E是AD边的中点,求:CE与底面BCD所成角的正弦值解过A,E分别作AH面BCD,EO面BCD,H,O为垂足,AH 2OE,AH,OE确定平面AHD,连结OC,ECO即为所求AB=AC=AD,HB=HC=HDBCD是正三角形,H是BCD的中心,连结DH并延长交BC于F,F为BC的中点, ,在RtADH中,8在四面体ABCD中,DA面ABC,ABC90,AECD,AFDB求证:(1)EFDC;(2)平面DBC平面AEF证明 如图1-83(1)AD面ABCADBC又ABC90BCABBC面DABDB是DC在面ABD内的射影AFDBAFCD(三垂线定理)AECDCD平面AEFCDEF(2)CDAE,CDEFCD面AEFCD 面BCD面AEF面BCD(3)由EFCD,AECD AEF为二面角B-DC-A的平面又AFDB,AFCD,BDCDD AF平面DBC,

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