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1、word课题浅谈数列中an与Sn的递推公式的应用对于任意一个数列，当定义数列的前n项和通常用Sn表示时，记作Sna1a2an，此时通项公式an而对于不同的题目中的an与Sn的递推关系，在解题时又应该从哪些方向去灵活应用anSnSn1(n2)去解决不同类型的问题呢？ 我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的an与Sn相关的问题：归纳起来常见的角度有：角度一：直观运用的Sn，求an；角度二：客观运用anSnSn1(n2)，求与an，Sn有关的结论；角度三：an与Sn的延伸应用角度一：直观运用的Sn，求an方法：Sn求an的三个步骤(此时Sn为关于n的代数式)：(1)先利用a1S1求出a1；(2
2、)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式；(3)对n1时的结果进展检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合，如此可以把数列的通项公式合写；如果不符合，如此应该分n1与n2两段来写同时，在局部题目中需要深刻理解“数列的前n项和的实际意义，对“和的式子有本质的认识，这样才能更好的运用Sn求解如：a12a23a3nan2n1，其中a12a23a3nan表示数列nan的前n项和1数列an的前n项和Snn22n2，如此数列an的通项公式为()Aan2n3Ban2n3CanDan【解析】当n2时，anSnSn12n3当n1时，a1S11，不满足上式
3、【答案】C2(2015某某某某一中月考)数列an满足：a13a25a3(2n1)an(n1) 3n+13(nN*)，如此数列的通项公式an【解析】当n2时，a13a25a3(2n3)an1(n2) 3n3；如此用等式减去上式得(2n1)an(2n1)3n，得an3n；当n1时，a13，满足上式；故an3n【答案】an3n3(2015某某一中月考)an的前n项和为Sn，且满足log2(Sn1)n1，如此an【解析】由得Sn12n1，如此Sn2n11；当n2时，anSnSn12n112n12n；当n1时，a1S13，不满足上式；故an【答案】an4(2015某某某某树德期中)an是一个公差大于0的
4、等差数列，且满足a3a545，a2a614(1)求an的通项公式；(2)假如数列bn满足：an1(nN*)，求bn的前n项和【解】(1)设等差数列an的公差为d，如此d0， 由a2a614，可得a47由a3a545，得(7d)(7d)45，解得d2 或d2(舍)ana4(n4)d72(n4)，即an2n1 (2)令，如此c1c2c3an12n当n2时，c1c2c312(n1) 由得，2，当n1时，c12，满足上式；如此2(nN*)，即2，bn2n1，故数列bn是首项为4，公比为2得等比数列，数列bn的前n项和Sn2n24角度二：客观运用anSnSn1(n2)，求与an，Sn有关的结论此类题目中
5、，条件往往是一个关于an与Sn的等式，问题如此是求解与an，Sn有关联的结论那么我们需要通过对所求问题进展客观分析后，判定最后的结果中是保存an，还是Sn那么，主要从两个方向利用anSnSn1(n2)：方向一：假如所求问题是与an相关的结论，那么用SnSn1an (n2)消去等式中所有Sn与Sn1，保存项数an，在进展整理求解；1(2015某某某某月考)数列an的前n项和记为Sn，a11，an12Sn1(n1，nN*)，如此数列的通项公式是【解析】当n2时，an2Sn11，两式相减得an1an2(SnSn1)，即an1an2an，得an13an；当n1时，a23，如此a23a1，满足上式；故a
6、n是首项为1，公比为3得等比数列，an3n1【答案】an3n12数列an的前n项和为Sn，假如an14Sn1，a11(1)求数列an的通项公式；(2)设bnnan，求数列bn的前n项和Tn【解】(1)当n2时，an4Sn11，又an14Sn1，an1an4an，即3(n2)，又a24a113，a11，数列an是首项为a11，公比为q3的等比数列，an(3)n1(2)由(1)可得bnn(3)n1，Tn1(3)02(3)13(3)2(n1)(3)n2n(3)n1，3Tn1(3)12(3)2(n2)(3)n2(n1)(3)n1n(3)n，4Tn1(3)1(3)2(3)n1n(3)n，所以，Tn方向二
7、：假如所求问题是与Sn相关的结论，那么用anSnSn1(n2)消去等式中所有项数an，保存Sn与Sn1，在进展整理求解1数列an的前n项和为Sn且满足an2SnSn10(n2)，a1(1)求证：是等差数列；(2)求an的表达式【解】(1)证明：anSnSn1(n2)，又an2SnSn1，Sn1Sn2SnSn1，Sn0因此2(n2)故由等差数列的定义知是以2为首项，2为公差的等差数列(2)由(1)知(n1)d2(n1)22n，即Sn当n2时，an2SnSn1，又a1，不适合上式an2(2015某某名校联盟调考)正项数列an的前n项和为Sn，且a2Snan10(1)求数列Sn的通项公式；(2)求证
8、：2(Sn+11)(提示：)【解】(1)anSnSn1(n2)，由a2Snan10，得(SnSn1)22Sn(SnSn1)10，整理得SS1当n1时，a2S1a110，且a10，解得a11，故由等差数列的定义知S是以1为首项，1为公差的等差数列Sn，如此Sn(2)由(1)知2()， 2(1)2()2()2(1)即2(Sn11) 【总结】此类题目往往伴随着等差、等比数列的判定，所以需要对数列的判定方法熟练掌握角度三：an与Sn的延伸应用解此类题目中不仅需要深刻理解“数列的前n项和的实际意义，还需要对an关系式的形式结构很熟练的掌握，这样才能在题目中对等式灵活地变换当然在解决问题的时候仍然需要从求
9、谁的角度出发分析，确定等式的变换方向方向一：关于双重前n项和此类题目中一般出现“数列an的前n项和为Sn，数列Sn的前n项和为Tn的条件，在解答时需要确定清楚求的是与an，Sn，Tn中谁相关的问题，确定等式的运用方向但一般是求解最底层的an1(2015某某某某质检)设数列an的前n现和为Sn，数列Sn的前n项和为Tn，满足Tn2Snn2，nN*(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式【解】(1)当n1时，T12S11，且T1S1a1，解得a11，(2)当n2时，SnTnTn12Snn22Sn1(n1)22Sn2Sn12n1Sn2Sn12n1 如此Sn12Sn2n1 由，得an12an2，a
10、n122(an2)，即2(n2)，易求得，a123，a226，如此2，数列an2是首项为3，公比为2的等比数列，an232n1，如此an32n12(nN*)2(2015某某某某期末联考)设数列an的前n项和为Sn，数列Sn的前n项和为Tn，且2Tn4Sn(n2n)，nN*(1)证明：数列an1为等比数列；(2)设bn，证明：b1b2bn3【解】(1)当n1时，2T14S12，且T1S1a1，解得a11，当n2时，2T22(a1a1a2)4(a1a2)6，解得a23，当n2时，2Tn14Sn1(n1)2(n1)2Sn2Tn2Tn14Sn(n2n)4Sn1(n1)2(n1)整理得Sn2Sn1n如此
11、Sn12Snn1 由，得an12an1，an112(an1)，即2(n2)，显然2，数列an1是首项为2，公比为2的等比数列，(2)由(1)知，an12n，如此bn如此b1b2bn，令Tn，如此Tn，由，得Tn1 1如此Tn3，即b1b2bn3方向二：等式在整理过程中需要因式分解此类问题大多数时候会伴随“各项均为正数的数列an这样的条件，运用在因式分解后对因式进展符号的判定，对因式进展的取舍1(2015某某某某一模)各项均为正数的数列an满足a4Sn2an1(nN*)，其中Sn为an的前n项和(1)求a1，a2的值；(2)求数列an的通项公式【解】(1)当n1时，T12S11；又T1S1a1，
12、如此a12a11，解得a11；(2)当n2时，SnTnTn1(2Snn2)2Sn1(n1)22Sn2Sn12n1， 整理得Sn2Sn12n1 Sn12Sn2n1 由，得an12an2an122(an2)，即2(n2)又T22S24；得a24当n1时，a123，a226，如此2，数列an2是以3为首项，2为公比的等比数列如此an232n1，所以an32n122数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn，nN*(1)求证：数列an是等差数列；(2)设bn，Tnb1b2bn，求Tn【解】(1)由得，当n1时，a1S1 (an0)，a11当n2时，由得2anaanaan1 即(anan1)(anan11)0，anan10，anan11(n2)所以数列an是以1为首项，1为公差的等差数列(2)由(1)可得ann，Sn，bnTnb1b2b3bn11方向三：需对等式变形后，再求解1(2015某某五校联考)正项数列an中
