资源描述
第3讲 基本不等式:≤
基础巩固题组
(建议用时:30分钟)
一、选择题
1.下列不等式一定成立的是( )
A.lg>lg x(x>0) B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)
C.x2+1≥2|x|(x∈R) D.<1(x∈R)
解析 当x>0时,x2+≥2·x·=x,所以lg≥lg x(x>0),故选项A不正确;运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”,而当x≠kπ,k∈Z时,sin x的正负不定,故选项B不正确;由基本不等式可知,选项C正确;当x=0时,有=1,故选项D不正确.
答案 C
2.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是( )
A.[0,2] B.[-2,0]
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
解析 2≤2x+2y=1,所以2x+y≤,即2x+y≤2-2,所以x+y≤-2.
答案 D
3.(2017·浙江省名校协作体联考)若a,b都是正数,则·的最小值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
解析 ∵a,b都是正数,∴=5++≥5+2=9,当且仅当b=2a>0时取等号.故选C.
答案 C
4.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是( )
A.≤ B.+≤1
C.≥2 D.a2+b2≥8
解析 4=a+b≥2(当且仅当a=b时,等号成立),即≤2,ab≤4,≥,选项A,C不成立;+==≥1,选项B不成立;a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥8,选项D成立.
答案 D
5.(2015·湖南卷)若实数a,b满足+=,则ab的最小值为( )
A. B.2 C.2 D.4
解析 依题意知a>0,b>0,则+≥2=,当且仅当=,即b=2a时,“=”成立.因为+=,所以≥,即ab≥2,所以ab的最小值为2,故选C.
答案 C
6.(2017·日照模拟)若实数x,y满足xy>0,则+的最大值为( )
A.2- B.2+
C.4+2 D.4-2
解析 +===1+=1+≤1+=4-2,当且仅当=,即x2=2y2时取等号.故选D.
答案 D
7.若正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,则xy的最大值是( )
A. B. C.2 D.
解析 由x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy≥2·(2x)·(3y)+3xy(当且仅当2x=3y时等号成立),∴12xy+3xy≤30,即xy≤2,∴xy的最大值为2.
答案 C
8.(2017·瑞安市调研)已知a>0,b>0,a+b=+,则+的最小值为( )
A.4 B.2 C.8 D.16
解析 由a>0,b>0,a+b=+=,得ab=1,
则+≥2=2.当且仅当=,即a=,b=时等号成立.故选B.
答案 B
二、填空题
9.正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是________.
解析 ∵a,b是正数,∴ab=a+b+3≥2+3,
解得≥3,即ab≥9.
答案 [9,+∞)
10.(2016·嘉兴一中检测)已知实数m,n满足m·n>0,m+n=-1,则+的最大值为________.
解析 ∵m·n>0,m+n=-1,∴m<0,n<0,
∴+=-(m+n)=-≤-2-2=-4,当且仅当m=n=-时,+取得最大值-4.
答案 -4
11.若对于任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是________.
解析 =,
因为x>0,所以x+≥2(当且仅当x=1时取等号),
则≤=,
即的最大值为,故a≥.
答案
12.(2017·嵊州月考)某工厂需要建造一个仓库,根据市场调研分析,运费与工厂和仓库之间的距离成正比,仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比,当工厂和仓库之间的距离为4千米时,运费为20万元,仓储费为5万元,当工厂和仓库之间的距离为________千米时,运费与仓储费之和最小,最小为________万元.
解析 设工厂和仓库之间的距离为x千米,运费为y1万元,仓储费为y2万元,则y1=k1x(k1≠0),y2=(k2≠0),
∵工厂和仓库之间的距离为4千米时,运费为20万元,仓储费用为5万元,
∴k1=5,k2=20,∴运费与仓储费之和为万元,
∵5x+≥2=20,当且仅当5x=,即x=2时,运费与仓储费之和最小,为20万元.
答案 2 20
能力提升题组
(建议用时:15分钟)
13.设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值为( )
A.0 B.1 C. D.3
解析 由已知得z=x2-3xy+4y2,(*)
则==≤1,当且仅当x=2y时取等号,把x=2y代入(*)式,得z=2y2,所以+-=+-=-+1≤1.
答案 B
14.(2017·金华十校联考)设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+2by(a>0,b>0)的最大值为1,则+的最小值为________.
解析 不等式组所表示的平面区域是以(0,0),,(1,1)为顶点的三角形区域(包括边界),观察可知,当直线z=ax+2by过点(1,1)时,z有最大值,故a+2b=1,故1≥2,故ab≤,故+≥≥8,当且仅当a=2b=时等号成立,故+的最小值为8.
答案 8
15.点(a,b)为第一象限内的点,且在圆(x+1)2+(y+1)2=8上,则ab的最大值为________.
解析 由题意知a>0,b>0,且(a+1)2+(b+1)2=8,化简得a2+b2+2(a+b)=6,则6≥2ab+4(当且仅当a=b时取等号),令t=(t>0),则t2+2t-3≤0,解得00,则当a=________时,+取得最小值为________.
解析 由于a+b=2,所以+=+=++,由于b>0,|a|>0,所以+≥2=1,因此当a>0时,+的最小值是+1=.当a<0时,+的最小值是-+1=.故+的最小值为,此时即a=-2.
答案 -2
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