《高三数学第一轮复习空间几何体的表面积和体积文人教实验B版知识精讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学第一轮复习空间几何体的表面积和体积文人教实验B版知识精讲（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高三数学第一轮复习：空间几何体的表面积和体积（文）人教实验B版【本讲教育信息】一. 教学内容：空间几何体的表面积和体积球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式及其应用二. 课标要求：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。三. 命题走向近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会用体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，
2、会运用“割补法”等求解。由于本讲公式多反映在考题上，预测2008年高考有以下特色：（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；教学过程（一）基本知识要点回顾1. 多面体的面积和体积公式名称侧面积（S侧）全面积（S全）体 积（V）棱柱棱柱直截面周长lS侧+2S底S底h=S直截面h直棱柱ChS底h棱锥棱锥各侧面面积之和S侧+S底S底h正棱锥ch棱台棱台各侧面面积之和S侧+S上底+S下底h（S上底+S下底+）正棱台 （c+c）h表中S表示面积，c、c分别表示上、下底面周长，h表示高，h表示斜
3、高，l表示侧棱长。2. 旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S侧2rlrl（r1+r2）lS全2r（l+r）r（l+r）（r1+r2）l+（r21+r22）4R2Vr2h（即r2l）r2hh（r21+r1r2+r22）R3表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。【典型例题】例1. 一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm依题意得： 由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）（1）得x2+y2+
4、z2=16即l2=16所以l=4（cm）。点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考查。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。例2. 如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，ABAD，A1AB=A1AD=。（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在BAD的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积。解：（1）如图，连结A1O，则A1O底面ABCD。作OMAB交AB于M，作ONAD交AD于N，连结A1M，A1N。由线面垂直得A1MAB，A1NAD。A1AM=A1A
5、N，RtA1NARtA1MA，A1M=A1N，从而OM=ON。点O在BAD的平分线上。（2）AM=AA1cos=3=AO=。又在RtAOA1中，A1O2=AA12 AO2=9=，A1O=，平行六面体的体积为。点评：垂直问题的证明和柱体的体积公式的应用。例3. （2000全国，3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（ ）A. 2 B. 3 C. 6 D. 解：设长方体共一顶点的三边长分别为a=1，b，c，则对角线l的长为l=；答案D。点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素棱长。例4. 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，若E、F分别为AB、AC
6、的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1V2= _ _。解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V1+V2Sh。E、F分别为AB、AC的中点，SAEF=S，V1=h（S+S+）=ShV2=Sh-V1=Sh，V1V2=75。点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。例5. （2002京皖春文，19）在三棱锥SABC中，SAB=SAC=ACB=90，且AC=BC=5，SB=5。（如图所示）（）证明：SCBC；（）求三棱锥的体积VSABC。解析：（）证明：SAB=SAC=90，SA
7、AB，SAAC。又ABAC=A，SA平面ABC，SABC。由于ACB=90，即BCAC，BC平面ASC，得BCSC。（）解：在RtSAC中，SA=，SABC=ACBC=55=，VSABC=SACBSA=。点评：本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。要求对图形必须具备一定的洞察力，并进行一定的逻辑推理。例6. ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC2，求点B到平面EFC的距离？解：如图，取EF的中点O，连接GB、GO、CD、FB构造三棱锥BEFG。设点B到平面EFG的距离为h，BD，EF，CO。 。而GC平面ABCD，且GC2
8、。由，得GC点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点B为顶点，EFG为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。（等体积法）例7. （2006江西理，12）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积分别是S1，S2，则必有（ ）A. S1S2 C. S1=S2 D. S1，S2的大小关系不能确定解：连OA、OB、OC、OD，则VABEFDVOABDVOAB
9、EVOBEFD+VO-ADFVAEFCVOAFCVOAECVOEFC又VABEFDVAEFC，而每个锥体的高都是原四面体的内切球的半径，故SABDSABESBEFD+SADFSAFCSAECSEFC又面AEF公共，故选C点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。例8. （1）（1998全国，9）如果棱台的两底面积分别是S、S，中截面的面积是S0，那么（ ）A. B. C. 2S0SS D. S022SS（2）（1994全国，7）已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（ ）A. 3
10、2 B. 28 C. 24 D. 20解：（1）设该棱台为正棱台来解即可，答案为A；（2）正六棱台上下底面面积分别为：S上6226，S下64224，V台，答案B。点评：本题考查棱台的中截面问题。根据选择题的特点本题选用“特例法”来解，此种解法在解选择题时很普遍，如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。例9. （2000全国理，9）一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）A. B. C. D. 解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h=2r.S全=2r2+（2r）2=2r2（1+2）.S侧=h2=42r2，。答案为A。点评：本题考查圆柱的侧面展开图、侧
11、面积和全面积等知识。例10. （2003京春理13，文14）如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则= 。解：水面高度升高r，则圆柱体积增加R2r。恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有r3=R2r。故。答案为。点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。例11. （1）（2002京皖春，7）在ABC中，AB=2，BC=1.5，ABC=120（如图所示），若将ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ）A. B. C. D. （2）（2001全国文，3）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，
12、则这个圆锥的全面积是（ ）A. 3 B. 3 C. 6 D. 9解：（1）如图所示，该旋转体的体积为圆锥CADE与圆锥BADE体积之差，又求得AB=1。，答案D。（2）Sabsin，a2sin60，a24，a2，a=2r，r1，S全2rr223，答案A。点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。例12. 已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积。解：设截面圆心为，连结，设球半径为，则，在中，。点评： 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。例13. 如图所
13、示，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。解：如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O，球心到该圆面的距离为d。在三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，AB=BC=CA=a，且P在ABC内的射影即ABC的中心O。由正弦定理，得 =2r，r=a。又根据球的截面的性质，有OO平面ABC，而PO平面ABC，P、O、O共线，球的半径R=。又PO=a，OO=R a=d=，（Ra）2=R2 （a）2，解得R=a，S球=4R2=3a2。点评：本题也可用补形法求解。将PABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=a，下略。例14. （1）（2006四川文，10）如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则球的表面积是（ ）A. B. C. D. （2）半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积。解：（1）如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，PO底面ABCD，PO=R，所以，R=2，球的表面积是，选D。（2）作轴截面如图所示，设球半径为，则
